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[[Image:Prufer.PNG|thumb|300px|The Prüfer 2-group. <g<sub>n</sub>: g<sub>n+1</sub><sup>2</sup> = g<sub>n</sub>, g<sub>1</sub><sup>2</sup> = e>]]
In [[matematica]] e più precisamente in [[teoria dei gruppi]], il '''''p''- gruppo di Prüfer''', '''Z'''(''p''<sup>∞</sup>), per un [[numero primo]] ''p'', è l’unico [[sottogruppo di torsione|gruppo di torsione]] in cui ogni elemento ha ''p'' radici ''p''-esime.
==Altre rappresentazioni==
Il ''p''- gruppo di Prüfer si può rappresentare anche in molti alti modi equivalenti. Ad esempio, è facile mostrare che esso è [[Isomorfismo tra gruppi |isomorfo]] al [[Teoremi_di_Sylow#Definizione_di_p-sottogruppo_di_Sylow|''p''-sottogruppo_di_Sylow]] di '''Q'''/'''Z''' formato dagli elementi che hanno [[Glossario_di_teoria_dei_gruppi#Definizioni di base|ordine]] una potenza di ''p'', o equivalentmente,
:<math>\mathbf{Z}(p^\infty)\cong\{\exp(2\pi i n/p^m) \mid n\in \mathbf{Z}^+,\,m\in \mathbf{Z}^+\}.</math>
Il ''p''- gruppo di Prüfer può anche essere visto come sottogruppo del [[Glossario_di_teoria_dei_gruppi#Definizioni di base|sottogruppo moltiplicativo]] dei [[numero complesso|complessi]], '''C*'''; esso è infatti isomorfo al gruppo formato da tutte le [[Radice dell'unità|radici ''p''<sup>''n''</sup>-esime dell’unità]] al variare di ''n'' tra i numeri naturali (e dunque è anche un sottogruppo del [[gruppo circolare]], ''''U''' (1)).
:<math>\mathbf{Z}(p^\infty)\cong\{\exp(2\pi i n/p^m) \mid n\in \mathbf{Z}^+,\,m\in \mathbf{Z}^+\}\;\leq\Bbb{C}^*.</math>
Infine il ''p''- gruppo di Prüfer si può determinare anche attraverso la sua [[presentazione di un gruppo|presentazione]]
:<math>\mathbf{Z}(p^\infty) \cong\langle x_1 , x_2 , ... | x_1^p = 0, x_2^p = x_1 , x_3^p = x_2 , ...\rangle</math>.
==Proprietà elementari==
* Il ''p''- gruppo di Prüfer è l’unico [[P-gruppo|''p''-gruppo]] che è [[gruppo localmente ciclico|localmente ciclico]], cioè tale che ogni suo sottogruppo generato da un numero finito di elementi è ciclico. Inoltre esso è un [[gruppo divisibile]].
*I ''p''-gruppi di Prüfer sono gli unici gruppi infiniti i cui sottogruppi sono [[Ordine totale|totalmente ordinati]] dall’inclusione:
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