Varietà simplettica: differenze tra le versioni
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In matematica una '''varietà simplettica''' è una varietà differenziabile liscia munita di una 2-forma chiusa non degenere <math>\omega</math> definita forma simplettica. Lo studio delle varietà simplettiche è denominato [[geometria simplettica]]. Lo studio delle varietà simplettiche deriva dalle formulazioni astratte della meccanica classica e della meccanica analitica,
Una qualsiasi funzione differenziabile, ''H'', a valori reali che lavora su una varietà simplettica fa da hamiltoniana o funzione energia. Ad ogni hamiltoniana è associato un [[Campo vettoriale hamiltoniano|campo vettoriale hamiltoniano]]; i moti naturali del sistema hamiltoniano sono soluzioni delle [[Teoria di Hamilton-Jacobi|equazioni di Hamilton-Jacobi]]. Tramite il campo hamiltoniano è possibile definire un flusso sulla varietà simplettica, chiamato simplettomorfismo o flusso hamiltoniano. Per il teorema di Liouville, il flusso hamiltoniano preserva la forma volume sullo spazio delle fasi.
== Definizione ==
Una forma simplettica su una varietà, ''M'', è una 2-forma differenziale non degenere chiusa, <<math>>\omega<</math>>. La coppia (''M'',<<math>>\omega<</math>>) si chiama '''varietà simplettica'''.
Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una [[Base_(algebra_lineare)|base]] ''X''<sub>i</sup> dello spazio tangente di ''M'' in un punto, la matrice
:<math>\Omega_{ij}=\omega(X_i,X_j)</math>
è invertibile (il determinante è diverso da 0).
La richiesta di <<math>>\omega<</math>> chiusa significa che
:<math>d\omega = 0</math>
dove ''d'' è la derivata esterna.
Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una '''varietà simplettica'''; infatti <math>\Omega<</math>> è antisimmetrica, i.e., <math>\Omega_{ij}=-\Omega_{ji}<</math>>, per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).
== Varietà simplettica lineare ==
La varietà simplettica standard è '''R'''<sup>2''n''</sup> con la forma simplettica data da
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