Varietà simplettica: differenze tra le versioni
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Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una '''varietà simplettica'''; infatti <math>\Omega</math> è antisimmetrica, i.e., <math>\Omega_{ij}=-\Omega_{ji}</math>, per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).
== Sistema di coordinate canonico ==
Consideriamo una varietà simplettica <math>(M,\omega)</math> con un sistema di coordinate, o una carta, denotata con la notazione <math>x^i</math> dove <math>i=1,\cdots,2n</math>.
=== Definizione ===
Una carta <math>x^i</math> si dice canonica, o sistema di coordinate canonico se accade che
:<math>\omega=\sum_{i=1}^{n}dx^i\wedge dx^{n+1}</math>
spesso per il sc canonico si usa la notazione classica <math>x^i=q^i</math> <math>p_i=x^{n+i}</math> con <math>i=1,\cdots,n</math> cosicchè la forma simplettica si riscrive (usando la [[notazione di Einstein]])
:<math>\Omega=dq^i\wedge dp_1</math>.
=== Teorema di Darboux ===
Ogni varietà simplettica possiede un atlante formato da sistemi di coordinate cononici.
== Varietà simplettica lineare ==
La varietà simplettica standard è '''R'''<sup>2''n''</sup>, siano <math>x^i</math> <math>i=1,\cdots,2n</math> le coordinate cartesiane su <math>\mathbb{R}^{2n}</math>, con la forma simplettica data da
:<math>\omega=\sum_{i=1}^{n}dx^i\wedge dx^{n+1}</math>
in forma matriciale
:<math>\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}</math>
Questa particolare struttura simplettica è importante perchè il Teorema di Darboux ci dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.
== Forma volume simplettico ==
Una [[varietà simplettica]] (<math>M</math>, <math>\omega</math>) possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.
=== Definizione ===
Si definisce '''forma volume simplettico''', o la '''forma di Liouville''' indotta da <math>\omega</math> la
:<math>\Xi_{\omega}\equiv\xi:=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{n!}\wedge^n\omega</math>
Utilizzando un sc canonico, che esiste sempre per il teorema di Darboux, la forma di Liouville assume l'aspetto
:<math>\xi:=dq^1\wedge\cdots\wedge dq^n\wedge dp_1\wedge\cdots\wedge dp_n</math>.
=== Proprietà ===
# Siccome tutte le forme volume inducono un orientazione su una varietà anche <math>\xi</math> porta un orientazione sulla varietà simplettica che viene chiamata anche l'orientazione naturale di ''M''.
# La forma volume di Liouville induce una misura positiva sui borelliani di ''M''. Definita
:<math>|\mathcal{B}|=\int_{(q,p)(\mathcal{B})}dq^1\cdots dq^ndp_1\cdots dp_n</math>
dove <math>\mathcal{B}</math> è un borelliano di ''M'' e si è usato il sc canonico.
== Gradienti simplettici ==
Sia <math>(M,\omega)</math> una varietà simplettica e <math>h</math> una funzione scalare su M.
Chiamiamo gradiente simplettico di h il campo vettorale ''X'' su ''M'' definito come l'unico campo vettoriale tale che
:<math>\omega(X,\cdot)=dh</math>
<math>dh</math> è il differenziale di <math>h</math>.
== Sistema hamiltoniano ==
Notiamo che
:<math>\omega(X,\cdot):TM\to T^*M</math>
è biettiva per via della nondegenerazione di <math>\omega</math> allora è possibile definire un applicazione inversa
:<math>I:T^*M\to TM</math>
che prende il nome di tensore di Poisson tale che
:<math>\omega(I\alpha,\cdot)=\alpha</math>
dove <math>\alpha\in T^*M</math>.
Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come <math>X=Idh</math> che prende anche il nome di campo vettoriale hamiltoniano e la relativa [[equazione differenziale]] associata prende il nome di [[equazione di hamilton]] di hamiltoniana <math>h</math>.
La terna <math>(M,\omega,h)</math> si chiama sistema hamiltoniano, e la varietà simplettica <math>(M,\omega)</math> si definisce anche spazio delle fasi.
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