Teorema di Brothers-Ziemer: differenze tra le versioni
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Il '''teorema di Brothers-Ziemer''' afferma che che la [[Norma_(matematica)#Norma_Lp|norma L<sup>p</sup>]] del [[gradiente]] di una funzione è sempre maggiore o uguale della norma L<sup>p</sup> del gradiente della sua riarrangiata monotona decrescente. Se inoltre la misura n-1 dei punti a gradiente nullo è zero vale l'uguaglianza a meno di traslazione.
Se si indica con <math>\omega_n</math> il volume della [[palla unitaria]] di <math>\mathbb{R}^n</math> e con <math>M</math> il sup-essenziale della funzione <math>u</math>, eventualmente anche <math>
:<math>\mu(t)=\mathcal{H}^n\left( \{x \,\, t.c. \,\, u(x) >t\}
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{{Matematica voce|Teorema|Teorema di Brothers-Ziemer|
Siano <math>1\leq p<
Allora vale:
:<math> \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u^*|^p d \mathcal{H}^{n}\leq \int_{\mathbb{R}^n} |\nabla u|^p d \mathcal{H}^{n}.</math>
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