Differenze tra le versioni di "Distribuzione di Maxwell-Boltzmann"

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=== Deduzione della distribuzione completa ===
[[Immagine:Maxwell-Boltzmann distribution 1.png|thumb|350px|right|Distribuzioni della velocità per un [[gas]] di [[ossigeno]] alle temperature di -100,20 e 600 [[Celsius|°C]].]]
La deduzione della distribuzione completa tridimensionale è relativamente semplice, se si suppone che il '''''sistema sia [[isotropia|isotropo]]''''', cioè che il moto delle particelle non abbia direzioni preferenziali. In queste ipotesi, la distribuzione completa è il prodotto delle distribuzioni monodimensionali sui singoli assi x, y e z.
:<math> f(v_x,v_y,v_z) = h(v_x) h(v_y) h(v_z) = \left( \frac{m}{2 \pi K_B T}\right)^{3/2} e^{- m (v_x^2+v_y^2+v_z^2) /2 K_B T} \,</math> .
 
L'espressione può essere semplificata, usando il modulo della velocità <math>v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}</math>, e usando l'elemento di volume in [[coordinate sferiche]] <math>\mathrm{d}\Omega = v^2 \mathrm{d}v \, \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi</math>, e integrando sulle coordinate angolari:
:<math> f(v) = 4 \pi \left( \frac{m}{2 \pi K_B T}\right)^{3/2} v^2 e^{- m v^2 /2 K_B T} \, </math> .
 
Quest'ultima espressione è l'espressione classica della distribuzione. Si vede subito che in 3 dimensioni non si tratta più di una [[gaussiana]]: all'aumentare della [[temperatura]] la distribuzione si allarga, ma contemporaneamente il massimo si sposta verso valori di velocità più elevati.
Per quanto riguarda il momento secondo, la velocità quadratica media si ottiene usando l'indipendenza dei moti nei tre assi x, y e z:
:<math> \langle v^{2} \rangle = \langle v_x^{2} \rangle + \langle v_y^{2} \rangle + \langle v_z^{2} \rangle = \frac{3 K_B T}{m} \, </math> .
oppure, in termini di energia cinetica media (totale) del sistema:
:<math> \frac{1}{2} m \langle v^{2} \rangle = \frac{3}{2} K_B T \, </math> .
cioè, tre volte l'energia cinetica media per ciascuna direzione del moto. Questo risultato è in accordo col [[teorema di equipartizione dell'energia]].
 
Generalizzando quanto trovato per la distribuzione monodimensionale, si può dedurre che i momenti successivi della distribuzione completa (tridimensionale) sono dati da:
:<math> \langle v^{n} \rangle = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \; \left( \frac{2 K_B T}{m} \right)^{n/2} \; \Gamma \left( \frac{n + 3}{2} \right) \, </math> .
Questo significa che, per es. per i momenti pari
Questo significa che, per es. per i momenti pari, :<math>\langle v^{2} \rangle = \frac{3 K_B T}{m}</math>, <math>\langle v^{4} \rangle = 15 \left( \frac{K_B T}{m} \right)^2</math>, <math>\langle v^{6} \rangle = 105 \left( \frac{K_B T}{m} \right)^3</math>, eccetera.
 
e così via.
 
== Validità della distribuzione in sistemi reali ==
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