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Teorema del ballottaggio: differenze tra le versioni

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Esempi
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Il '''teorema del ballottaggio''' prende il nome dal problema che originariamente si pone obiettivo di risolvere: data un elezione con <math>n</math> votantivoti validi e due soli candidati <math>A</math> e <math>B</math> che ricevono rispettivamente <math>a</math> e <math>b</math>, dove <math>a>b</math> (e ovviamente <math>a+b=n</math>), qual'è la probabilità che, nello spoglio dei voti, <math>A</math> risulti in ogni momento in vantaggio su <math>B</math>?
 
La risposta è sorprendentemente semplice: questa probabilità è <math>\frac{a-b}{a+b}</math>, ovvero, espressa in [[percentuale]], <math>\alpha - \beta</math>, dove <math>\alpha</math> e <math> \beta</math> sono rispettivamente le percentuali di voti di <math>a</math> e <math>b</math>.
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* <math>N^+</math>, che contiene tutti i possibili scrutini in cui il primo voto scrutinato va ad <math>A</math> e che vedono, in un certo momento, una situazione di pareggio
* <math>N^-</math>, che co
*Si verifica facilmente che <math> N^+ \cup N^- \cup S = T </math>, che contiene.ntiene tutti i possibili scrutini in cui il primo voto scrutinato va a <math>B</math> (siccome A nel complesso ha ricevuto più voti, va da sé che anche in questo scrutinio si assiste, prima o poi, ad almeno una situazione di pareggio)
* <math>S</math>, che contiene tutti i possibili scrutini che vedono <math>A</math> sempre in vantaggio (quelli che ci interessano)
 
Ad esempio, se prendiamo il caso in cui <math>a=7, b=4, n=11</math>, e rappresentiamo ogni voto per <math>A</math> con 1 e ogni voto per <math>B</math> con -1 abbiamo che:
 
* (1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1) <math> \in N^+ </math>, perché 1+1-1-1=0,
* (-1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1) <math> \in N^- </math>, perché il primo voto è per <math>B</math> (e infatti -1-1+1-1+1+1=0), mentre
* (1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1) <math> \in S </math>
 
Si verifica facilmente che <math> N^+ \cup N^- \cup S = T </math>.
 
A questo punto prendiamo una qualsiasi <math>n</math>-upla in <math>N^+</math>. Supponiamo rappresenti uno scrutinio in cui l'ultimala prima situazione di pareggio (può non essere l'unica) si realizzi dopo <math>h</math> voti scrutinati. Se sostituiamo, nei primi <math>h</math> campi della <math>n</math>-upla, ogni 1 con un -1 e viceversa otteniamo una nuova ennupla che farà parte di <math>N^-</math>. Se invece applichiamo lo stesso procedimento ad un elemento di <math>N^-</math>, otteniamo un elemento di <math>N^+</math>. Si verifica facilmente che quella ora descritta è una [[corrispondenza biunivoca]] tra questi due sottoinsiemi, che quindi necessariamente hanno la stessa [[cardinalità]]. Ovvero la probabilità che, scelto uno scrutinio possibile a caso, questo faccia parte di <math>N^+</math>, è uguale alla probabilità che faccia parte di <math>N^-</math> (formalmente, questo si giustifica utilizzando la probabilità uniforme sull'insieme delle <math>n</math>-uple a termini +1 e -1).
Ora non è difficile calcolare la probabilità che uno scrutinio scelto a caso faccia parte di <math>N^-</math>, perché è semplicemente la probabilità che il primo voto scrutinato sia per <math>B</math>, ovvero <math>\frac{b}{n}=\frac{b}{a+b}</math>, che è anche la probabilità che lo scrutinio faccia parte di <math>N^+</math>. La probabilità che non faccia parte di nessuno dei due, e che quindi faccia parte di <math>S</math>, è:
<math>1-\frac{2b}{a+b}=\frac{a+b-2b}{a+b}=\frac{a-b}{a+b}</math>.
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_ballottaggio"