Differenze tra le versioni di "Numero surreale"

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Per molti giochi la posizione iniziale dei pezzi non fornisce vantaggi a nessun giocatore. Man mano che il gioco progredisce e un giocatore inizia a vincere, risulteranno alcune posizioni in cui è evidente che un giocatore è in vantaggio. Per analizzare i giochi, è utile associare un Gioco ad ogni posizione. Il valore di una data posizione sarà il Gioco {''L''|''R''}, dove ''L'' è l'insieme dei valori di tutte le posizioni che possono essere raggiunte in una singola mossa dal giocatore Sinistro. Analogamente, ''R'' è l'insieme dei valori di tutte le posizioni che possono essere raggiunte in una singola mossa dal giocatore Destro. Questo modo molto semplice di associare Giochi a giochi produce risultati molto interessanti. Si supponga che due giocatori perfetti giochino un gioco iniziando da una data posizione il cui Gioco associato sia ''x''. Il vincitore del gioco viene così determinato:
* se ''x'' > 0 allora vincerà il giocatore Sinistro,
* se ''x'' &lt;< 0 allora vincerà il giocatore Destro,
* se ''x'' = 0 allora vincerà il giocatore che gioca per secondo,
* se ''x'' || 0 allora vincerà il giocatore che gioca per primo.
In una costruzione alternativa, chiamata la ''espansione di segni'' o ''successione di segni'' di un numero surreale, un numero surreale è una [[funzione (matematica)|funzione]] il cui [[dominio]] è un [[numero ordinale]] e il [[codominio]] è un [[sottoinsieme]] di { - 1, + 1 }.
 
Si definisce il predicato binario "più semplice di" sui numeri in questo modo: ''x'' è più semplice di ''y'' se ''x'' è un [[sottoinsieme|sottoinsieme proprio]] di ''y'', cioè se dom(''x'') &lt;< dom(''y'') e ''x''(&alpha;) = ''y''(&alpha;) per tutti gli &alpha; &lt;< dom(''x'').
 
Per i numeri surreali ''x'' e ''y'' si definisce la relazione binaria &lt;< identificandola con l'ordinamento lessicografico, con la convenzione che "valori indefiniti" sono maggiori di &minus;1 e minori di 1. In questo modo si ha che ''x'' &lt;< ''y'' se è vera una delle seguenti proprietà:
* ''x'' è più semplice di ''y'' e ''y''(dom(''x'')) = + 1;
* ''y'' è più semplice di ''x'' e ''x''(dom(''y'')) = - 1;
 
Equivalentemente, sia &delta;(''x'',''y'') = min({ dom(''x''), dom(''y'')} &cup; { &alpha; :
&alpha; &lt;< dom(''x'') &and; &alpha; &lt;< dom(''y'') &and; ''x''(&alpha;) &ne; ''y''(&alpha;) }),
in modo tale che ''x'' = ''y'' sse &delta;(''x'',''y'') = dom(''x'') = dom(''y''). Allora, per i numeri ''x'' e ''y'' si ha che ''x'' &lt;< ''y'' sse vale una delle seguenti proprietà:
* &delta;(''x'',''y'') = dom(''x'') &and; &delta;(''x'',''y'') &lt;< dom(''y'') &and; ''y''(&delta;(''x'',''y'')) = + 1;
* &delta;(''x'',''y'') &lt;< dom(''x'') &and; &delta;(''x'',''y'') = dom(''y'') &and; ''x''(&delta;(''x'',''y'')) = - 1;
* &delta;(''x'',''y'') &lt;< dom(''x'') &and; &delta;(''x'',''y'') &lt;< dom(''y'') &and; ''x''(&delta;(''x'',''y'')) = - 1 &and; ''y''(&delta;(''x'',''y'')) = + 1.
 
Per i numeri ''x'' e ''y'' si ha che ''x'' &le; ''y'' sse ''x'' &lt;< ''y'' &or; ''x'' = ''y'', ''x'' &gt;> ''y'' sse ''y'' &lt;< ''x'', e ''x'' &ge; ''y'' sse ''y'' &le; ''x''.
 
La relazione di &lt;< è una [[relazione transitiva|proprietà transitiva]], e per tutti i numeri ''x'' e ''y'' è vera soltanto una delle relazioni seguenti: ''x'' &lt;< ''y'', ''x'' = ''y'', ''x'' &gt;> ''y'' (proprietà di [[tricotomia]]). Ciò significa che &lt;< è un [[ordine lineare]] (linear order) (eccetto il fatto che &lt;< è una classe propria).
 
Per insiemi di numeri ''L'' e ''R'' tali che &forall;''x'' &isin; ''L'' &forall;''y'' &isin; ''R'' (''x'' &lt;< ''y''), esiste un unico numero ''z'' tale che
* &forall;''x'' &isin; ''L'' (''x'' &lt;< ''z'') &and; &forall;''y'' &isin; ''R'' (''z'' &lt;< ''y''),
* Per ogni numero ''w'' tale che &forall;''x'' &isin; ''L'' (''x'' &lt;< ''w'') &and; &forall;''y'' &isin; ''R'' (''w'' &lt;< ''y''), ''w'' = ''z'' oppure ''z'' è più semplice di ''w''.
 
Inoltre ''z'' è [[costruibile]] a partire da ''L'' e ''R'' mediante induzione transfinita. ''z'' è il numero più semplice compreso tra ''L'' e ''R''. Lo si indichi con il simbolo &sigma;(''L'',''R'').
 
Per un numero ''x'', si definiscano il suo insieme sinistro ''L''(''x'') e il suo insieme destro ''R''(''x'') con
* ''L''(''x'') = { ''x''|<sub>&alpha;</sub> : &alpha; &lt;< dom(''x'') &and; ''x''(&alpha;) = + 1 };
* ''R''(''x'') = { ''x''|<sub>&alpha;</sub> : &alpha; &lt;< dom(''x'') &and; ''x''(&alpha;) = - 1 },
 
Allora &sigma;(''L''(''x''),''R''(''x'')) = ''x''.
* ''R'' = { ''u'' + ''y'' : ''u'' &isin; ''R''(''x'') } &cup;{ ''x'' + ''v'' : ''v'' &isin; ''R''(''y'') }.
 
L'elemento neutro dell'addizione è dato dal numero 0 = { }, e cioè il numero 0 è l'unica funzione il cui dominio è l'ordinale 0, e l'opposto del numero ''x'' è il numero - ''x'', dato da dom(- ''x'') = dom(''x'') e, per &alpha; &lt;< dom(''x''), (- ''x'')(&alpha;) = - 1 se ''x''(&alpha;) = + 1, e (- ''x'')(&alpha;) = + 1 se ''x''(&alpha;) = - 1.
 
Ne segue che il numero ''x'' è [[positivo]] sse 0 &lt;< dom(''x'') e ''x''(0) = + 1, e ''x'' è [[negativo]] sse 0 &lt;< dom(''x'') e ''x''(0) = - 1.
 
Il prodotto ''xy'' di due numeri ''x'' e ''y'' è definito per induzione su dom(''x'') e dom(''y'') da ''xy'' = &sigma;(''L'',''R''), dove
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