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Teorema di Brothers-Ziemer: differenze tra le versioni

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[[Immagine:Copy_of_Esempio_di_riarrangiamento.svg|thumb|right|250px|Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma <math>W^{1,p}</math>]]
 
Il teorema di Brothers e Ziemer risulta un completamento della [[disuuaglianzadisuguaglianza di Polya-Szego]]. Il teorema di Polya-Szego infatti afferma che la riarrangiata radiale di una funzione ha norma <math>W^{1,p}</math> minore o al più uguale della funzione stessa. In pratica se si vuole minimizzare la norma in <math>W^{1,p}</math> è possibile cercare tale minimo tra le funzioni a simmetria radiale, avendo la riarrangiata tale proprietà. Non è detto pero' che non esistano funzioni che non hanno simmetria radiale che minimizzano tale norma.
Anzi in figura è presentata una funzione non simmetrica, e il suo riordinamento radiale. E' evidente in questo caso che la norma <math>W^{1,p}</math> delle due funzioni è la stessa. L'esempio costruito presenta una funzione in cui l'insieme dei punti a gradiente nullo è positivo.
Il teorema di Broters e Ziemer, con l'ulterire ipotesi che l'isieme in cui il gradiente è nullo abbia misura nulla, permette di concludere che le funzioni che minimizzano la norma <math>W^{1,p}</math> sono tutte e sole quelle a simmetria radiale.
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Brothers-Ziemer"