Funzione càdlàg: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], una '''funzione càdlàg''' ([[acronimo]] dal [[lingua francese|francese]] ''continue à droit, limitée à gauche'', che significa ''continua a destra, limitata a sinistra'') o più semplicemente (ma erroneamente) '''cadlag''' è una [[funzione di variabile reale]] che sia in ogni punto [[funzione continua|continua]] da destra e possegga [[limite di una funzione#Limite destro, sinistro, per eccesso, per difetto|limite sinistro]] finito.
Le funzioni càdlàg sono importanti nello studio dei [[processo stocastico|processi stocastici]] che ammettono [[traiettoria|traiettorie]] con [[punto di discontinuità|discontinuità di prima specie]].
== Esempi ==
* Tutte le funzioni continue sono naturalmente càdlàg.
* Tutte le [[funzione di ripartizione|funzioni di ripartizione]] sono càdlàg.<ref>Questo vale se, come largamente in uso, si definisce una funzione di ripartizione mediante la formula <math>F(x)=P(x\leq x)</math>. La proprietà cade se si definisce <math>F(x)=P(X<x)</math>, in quanto essa risulta essere una funzione continua a sinistra e con limite finito a destra.</ref>
== Spazio di Skorokhod ==
Lo [[spazio funzionale|spazio]] di tutte le funzioni càdlàg su un certo [[dominio (matematica)|dominio]] <math>E</math> a valori nello [[spazio metrico]] <math>M</math> viene detto '''spazio di Skorokhod'''. Esso si denota con <math>D(E;M)</math>. Tale spazio può essere munito di una [[topologia]]. Per semplicità, consideriamo come dominio l'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[0,T]</math> con <math>T</math> finito e come [[codominio]] lo [[spazio euclideo]] reale.
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Intuitivamente, il termine <math>\|\lambda-id_E\|_\infty</math> misura la "distorsione nel tempo" e il termine <math>\|f-g\circ\lambda\|_\infty</math> la "distorsione nello spazio".
=== Proprietà ===
Lo spazio <math>D(E;M)</math> contiene lo spazio <math>C(E;M)</math> delle funzioni continue. Su tale [[sottospazio]] la topologia di Skorokhod e la topologia uniforme coincidono.
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Come applicazione del [[teorema di Ascoli]], si può mostrare che una [[successione (matematica)|successione]] di [[misura di probabilità|misure di probabilità]] su <math>D</math> è ''[[tightness|tight]]'' se solo se sono verificate le seguenti due condizioni:
* <math>\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \| f \| \geq a \} = 0,</math>
* <math>\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} = 0</math>
con la seconda valida per ogni <math>\varepsilon > 0</math>.
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
* Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.
== Voci correlate ==
* [[Funzione di ripartizione]]
* [[Funzione semicontinua]]
* [[Processo stocastico]]
* [[Anatoliy Skorokhod]]
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[[de:Càdlàg]]
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