Prodotto diretto: differenze tra le versioni
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ritocchi e aggiunte. Ho tolto una frase riguardante la verifica della "chiusura" per questioni logiche. |
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In [[algebra]], il '''prodotto diretto''' di due [[gruppo (matematica)|gruppi]] è un altro gruppo, costruito prendendo il [[prodotto cartesiano]] di questi e definendo l'operazione termine a termine.
== Definizione ==
Il '''prodotto diretto''' di due [[gruppo (matematica)|gruppi]] (''G<sub>1</sub>'', *<sub>1</sub>), (''G<sub>2</sub>'', *<sub>2</sub>) è il gruppo (''G''<sub>1</sub>× ''G''<sub>2</sub>, *<sub>×</sub>) che si ottiene munendo il [[prodotto cartesiano]] ''G''<sub>1</sub>×''G''<sub>2</sub> dell'operazione *<sub>×</sub> definita da
Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottointendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la forma più leggibile
(''a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>'')*<sub>X</sub>(''b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>'') := (''a<sub>1</sub>*<sub>1</sub>b<sub>1</sub>'', ''a<sub>2</sub>*<sub>2</sub>b<sub>2</sub>'').▼
:(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>
▲Generalmente è possibile, per semplicità di lettura, omettere i vari simboli di prodotto, sottointendendo che due elementi di un gruppo vengono moltiplicati col prodotto definito in quel gruppo, in questo modo la formula definitoria assume la più leggibile forma
▲(''a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>'')(''b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>'') := (''a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>'', ''a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>'').
Data la definizione, occorre dimostrare la sua consistenza, cioè che il prodotto definito goda effettivamente delle proprietà gruppali.
*
*La ''chiusura'' deriva dalla chiusura dei prodotti di partenza: essendo ''a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>'' e ''a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>'' elementi di ''G<sub>1</sub>'' e ''G<sub>2</sub>'' rispettivamente, (''a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>'', ''a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>'') è elemento di ''G<sub>1</sub>XG<sub>2</sub>''.▼
*L'''elemento neutro'' è dato da (''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>) dove ''e''<sub>1</sub> ed ''e''<sub>2</sub> sono gli elementi unità di ''G''<sub>1</sub> e ''G''<sub>2</sub> rispettivamente. Infatti:
▲*Anche l'''associatività'' discende direttamente dall'analoga proprietà dei due prodotti.
▲::(''
*L' ''elemento
▲
== Proprietà ==
* I due gruppi fattori ''G''<sub>1</sub>
::<math> H_2 = \{(a_1, e_2)\ |\ a_1 \in G_1\} </math>
::<math> H_1 = \{(e_1, a_2)\ |\ a_2 \in G_2\} </math>
:rispettivamente. Infatti le due applicazioni ▼
::<math> f_1:G_1 \to H_1\ \ f_1(a_1) = (a_1, e_2) </math>
::<math> f_2:G_2 \to H_2\ \ f_2(a_2) = (e_1, a_2) </math>
:sono [[isomorfismo|isomorfismi]] di gruppi.▼
* Il prodotto di due [[gruppo finito|gruppi finiti]] aventi ''n'' e ''m'' elementi è un gruppo con ''nm'' elementi.
* Il prodotto di due [[gruppo abeliano|gruppi abeliani]] è abeliano.
* Il prodotto di due [[gruppo ciclico|gruppi ciclici]] con ''p'' e ''q'' elementi è ciclico se e solo se ''p'' e ''q'' sono [[interi coprimi|coprimi]].
Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il [[prodotto semidiretto]] tra gruppi.▼
▲I due gruppi fattori ''G<sub>1</sub>'' e ''G<sub>2</sub>'' possono essere identificati canonicamente con i due [[sottogruppo invariante|sottogruppi invarianti]]
== Esempi ==
* Il prodotto diretto di ''n'' copie dello stesso gruppo ''G'' viene indicato con ''G<sup>n</sup>''. Ad esempio, otteniamo i gruppi '''Z'''<sup>''n''</sup> e '''R'''<sup>''n''</sup> a partire dai gruppi '''Z''' e '''R''' rispettivamente dei [[numeri interi]] e [[numeri reali|reali]].
▲rispettivamente. Infatti le due applicazioni
▲sono [[isomorfismo|isomorfismi]].
▲Un'estensione del concetto di prodotto diretto è il [[prodotto semidiretto]] tra gruppi.
==Voci correlate==
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