Sia <math> G </math> un [[gruppo (matematica)|gruppo]] e <math> S </math> un sottoinsieme di <math> G </math>. L'insiemeIl sottogruppo <math>\langle <S> \rangle</math> '''generato''' da <math> S </math> è il più piccolo [[sottogruppo]] di <math> G </math> che contiene <math>S</math>,. eSe consiste<math>S</math> inè tuttil'insieme glivuoto, elementi<math>\langle cheS possono\rangle</math> essereè espressidunque comeil prodottosottogruppo di elementi dibanale <math> S\{e\} </math> e dei loro inversi. Se <math>S</math> non è l'insieme vuoto, allora <math>\langle <S> \rangle</math> èconsiste definitodi tutti gli elementi che possono essere espressi come ilprodotto sottogruppodi banaleelementi di <math> \{e\}S </math> e dei loro inversi.
=== Gruppo ciclico ===
{{vedi anche|gruppo ciclico}}
Quando <math>S = \{ x \}</math> consta diha un solo elemento solo <math>x</math>, <math>allora <S>si abbrevia </math>\langle èS scritto\rangle brevemente= come\langle <math> <x> \rangle</math>. In questo caso <math>\langle <x> \rangle = \{ x^i : i \in \mathbf{Z} \}</math> è il [[gruppo ciclico|sottogruppo ciclico]] formato da tutte le potenze di <math>x</math>.
In generale, un [[gruppo ciclico]] è un gruppo che può essere generato da un solo elemento.
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* I [[numeri razionali]] formano un gruppo che non è finitamente generato.
* Il [[prodotto diretto]] di due gruppi finitamente generati è finitamente generato.
* IlUn [[gruppo quoziente|quoziente]] di un gruppo finitamente generato è finitamente generato. Invece un sottogruppo di un gruppo finitamente generato può non essere finitamente generato.
