Differenze tra le versioni di "3-sfera"

2 559 byte aggiunti ,  11 anni fa
amplio
(inizio)
 
(amplio)
[[Image:Hypersphere_coord.PNG|right|frame|[[Proiezione stereografica]] degli elementi della 3-sfera: paralleli (in rosso), meridiani (in blu) e [[ipermeridiano|ipermeridiani]] (in verde). Tutte le curve sono cerchi (alcuni di raggio infinito, quindi rette), e in proiezione appaiono intersecarsi sempre ad angolo retto.]]
La '''3-sfera''' è una [[figura (geometria)|figura geometrica]] nello [[spazio euclideo]] 4-[[dimensione|dimensionale]], in particolare è l'analogo in questo spazio della [[sfera]]. È definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fissato.
 
 
Così come la sfera ordinaria, chiamata anche 2-sfera, è una superficie ([[varietà (matematica)|varietà]]) bidimensionale che fa da bordo alla [[palla (matematica)|palla]] tridimensionale, la 3-sfera è una varietà tridimensionale che fa da bordo alla palla 4-dimensionale.
 
==Definizione==
In termini di [[coordinata|coordinate]], una 3-sfera centrata in '''''C''''' (''C''<sub>0</sub>,&nbsp;''C''<sub>1</sub>,&nbsp;''C''<sub>2</sub>,&nbsp;''C''<sub>3</sub>) ed avente raggio ''r'' è l'insieme dei punti '''''x''''' (''x''<sub>0</sub>,&nbsp;''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''x''<sub>3</sub>) nello [[Spazio_euclideo#Spazio_Rn|spazio '''R'''<sup>4</sup>]] tali che
:<math>\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.</math>
 
Si chiama '''3-sfera unitaria''' o ''S''<sup>3</sup> quella con centro nell'origine e raggio unitario:
 
:<math>S^3 = \left\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 : x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\right\}.</math>
 
Se si considera '''R'''<sup>4</sup> come lo spazio a due coordinate [[numero complesso|complesse]] ('''C'''<sup>2</sup>), o [[quaternione]] ('''H'''), la 3-sfera unitaria è data dalla relazione
 
:<math>S^3 = \left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}</math>
oppure da
:<math>S^3 = \left\{q\in\mathbb{H} : |q| = 1\right\}.</math>
 
L'ultima definizione mostra che la 3-sfera è l'insieme di tutti i quaternioni unitari, ossia con modulo pari all'unità.
 
==Proprietà==
===Proprietà elementari===
Il volume 3-dimensionale (o ''iperarea'') della 3-sfera di raggio ''r'' è pari a
:<math>2\pi^2 r^3 \,</math>
mentre l'''ipervolume'' (il volume della regione 4-dimensionale racchiusa dalla 3-sfera) vale
:<math>\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} \pi^2 r^4.</math>
 
Ogni intersezione non vuota di una 3-sfera con un [[iperpiano]] tridimensionale è una 2-sfera, ossia una sfera convenzionale, oppure un singolo punto (nel caso di tangenza).
 
===Proprietà [[topologia|topologiche]]===
{{s sezione|matematica}}
Una 3-sfera è una [[varietà (matematica)|varietà]] 3-dimensionale [[spazio compatto|compatta]], [[spazio connesso|connessa]] e senza bordo. Inoltre è un insieme [[semplicemente connesso]]: ogni curva chiusa sulla sua superficie può essere ristretta ad un singolo punto senza lasciare la 3.sfera. Secondo la [[congettura di Poincaré]], dimostrata nel 2003 da [[Grigori Perelman]], la 3-sfera (a meno di [[omeomorfismo]]) è l'unica figura con queste proprietà.
 
==Voci correlate==
10 291

contributi