Differenze tra le versioni di "Algebra elementare"

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L''''algebra elementare''' è il più semplice tipo di [[algebra]] insegnata agli studenti che si presume non abbiano alcuna conoscenza [[matematica]] oltre ai principi di base dell'[[aritmetica]]. Mentre in aritmetica compaiono solo [[numero|numeri]] (prevalentemente numeri interi e razionali) e le operazioni (come +, −, ×, ÷), in algebra si usano anche simboli (come ''a'', ''x'', ''y'') per indicare numeri. Ciò è di grande utilità perché:
* consente la formulazione generale di leggi aritmetiche (come ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' per ogni ''a'' e ''b''), e quindi è il primo passo per un'esplorazione sistematica delle proprietà del sistema dei [[numero reale|numeri reali]]
* consente di riferirsi a numeri [[incognita|incogniti]] e quindi di formulare delle [[equazione|equazioni]] e di sviluppare tecniche per risolverle (per esempio: "trova un numero ''x'' tale che <math>3\cdot x + 2 = 10</math>)
* consente la formulazione di relazioni [[funzione (matematica)|funzionali]] (come la seguente: "se si vendono ''x'' biglietti, allora il profitto sarà <math>10x - 5</math> euro")
 
 
Un'[[espressione (matematica)|espressione]] algebrica può contenere numeri, variabili ed operazioni aritmetiche; esempi sono <math>a + 3</math> e <math>x^2 - 3</math>. Un'[[equazione]] è l'affermazione che due espressioni sono uguali in alcuni casi. Alcune equazioni sono vere per ogni valore delle variabili incognite (per esempio <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math> ); esse sono conosciute come [[identità (matematica)|identità]]. Altre equazioni contengono dei simboli per le variabili incognite e siamo quindi interessati a trovare quei particolari valori che rendono vera l'uguaglianza: <math>x^{2} - 1 = 4</math>. Essi sono detti ''soluzioni'' o zeri dell'equazione.
 
 
Le equazioni più semplici da risolvere sono quelle [[equazione lineare|lineari]], come
:<math>2x + 3 = 10\;</math>
La tecnica fondamentale è quella di aggiungere, sottrarre, moltiplicare o dividere entrambi i membri di un'equazione per lo stesso numero, e, ripetendo più volte questo processo, arrivare ad esprimere direttamente il valore della ''x''. Nell'esempio precedente, se noi sottraiamo 3 da entrambi i membri, otteniamo
:<math>2x = 7 \;</math>
e dividendo entrambi i membri per 2, otteniamo la soluzione
:<math>x = \frac{7}{2}</math>
 
Equazioni come
:<math>x^{2} + 3x = 5 \,</math>
sono note come [[equazione quadratica|equazioni quadratiche]] e si risolvono con una formula risolutiva.
 
Espressioni o affermazioni possono contenere molte variabili, da cui potrebbe essere possibile o impossibile ricavare il valore di alcune variabili. Per esempio:
 
:<math>(x - 1)^{2} = 0y\;</math>
 
Dopo alcuni semplici passaggi algebrici, possiamo dedurre che ''x'' = 1, ma non possiamo dedurre quale sia il valore di ''y''.
Comunque, se noi avessimo avuto un'altra equazione nelle incognite ''x'' e ''y'', avremmo potuto ottenere la risposta tramite un sistema di equazioni. Per esempio:
 
:<math>4x + 2y = 14\;</math>
:<math>2x - y = 1\;</math>
 
Ora, moltiplichiamo la seconda per 2, ottenendo le seguenti espressioni:
 
:<math>4x + 2y = 14\;</math>
:<math>4x - 2y = 2\;</math>
 
Poiché abbiamo moltiplicato l'intera equazione per due (ossia entrambi i membri), abbiamo in realtà ottenuto un'affermazione equivalente. Ora possiamo combinare le due equazioni, sommando membro a membro:
 
:<math>8x = 16\;</math>
 
In questo modo abbiamo ottenuto una equazione in una sola incognita, che possiamo facilmente risolvere dividendo per 8 e ottenendo ''x'' = 2.
 
Ora scegliamo una delle due equazioni di partenza.
 
:<math>4x + 2y = 14\;</math>
 
Sostituiamo 2 al posto di ''x''.
 
:<math>4(2) + 2y = 14\;</math>
 
Semplifichiamo
 
:<math>8 + 2y = 14\;</math>
:<math>2y = 6\;</math>
 
E risolviamo per ''y'', ottenendo 3. La soluzione di questo problema è ''x'' = 2 e ''y'' = 3, ossia la coppia (2, 3).
 
== Leggi di algebra elementare (su un campo) ==
********************
* L'[[addizione]] è un'[[operazione commutativa]].
** La [[sottrazione]] è l'operazione inversa dell'addizione.
** Sottrarre equivale ad aggiungere un [[numero negativo]]:
::: <math>a - b = a + (-b)\;</math>
* La [[moltiplicazione]] è un'operazione commutativa.
** La [[divisione (matematica)|divisione]] è l'operazione inversa della moltiplicazione.
** Dividere è lo stesso che moltiplicare per il [[reciproco]]:
::: <math> {a \over b} = a \left( {1 \over b} \right) </math>
* Se ''ab'' = 0, allora ''a'' = 0 o ''b'' = 0 ([[legge di annullamento del prodotto]]).
* L'elevamento a [[potenza (matematica)|potenza]] non è un'operazione commutativa.
** L'elevamento a potenza ha due operazioni inverse: il [[logaritmo]] e la [[Radicale (matematica)|radice]].
*** Esempi: se <math>3^x = 10</math> allora <math>x = \log_3 10 </math>. Se <math>x^{2} = 10</math> allora <math>x = 10^{1 / 2}</math>.
** La radice quadrata di -1 è [[unità immaginaria|i]].
* La proprietà [[distributività|distributiva]] della moltiplicazione rispetto all'addizione: <math>c(a + b) = ca + cb</math>.
* La proprietà distributiva dell'esponenziazione rispetto alla divisione: <math> (a b)^c = a^c b^c </math>.
* Come combinare gli esponenti: <math> a^b a^c = a^{b+c} </math>.
* Se ''a'' = ''b'' e ''b'' = ''c'', allora <math>a = c</math> ([[proprietà transitiva]] dell'[[uguaglianza (matematica)|uguaglianza]]).
* <math>a = a</math> ([[proprietà riflessiva]] dell'uguaglianza).
* Se <math>a = b</math> allora <math>b = a</math> ([[proprietà simmetrica]] dell'uguaglianza).
* Se <math>a = b</math> e <math>c = d</math> allora <math>a + c = b + d</math>.
** Se <math>a = b</math> allora <math>a + c = b + c</math> per ogni ''c'', per via della riflessività dell'uguaglianza.
* Se <math>a = b</math> e <math>c = d</math> allora <math>ac</math> = <math>bd</math>.
** Se <math>a = b</math> allora <math>ac = bc</math> per ogni ''c'' per via della riflessività dell'uguaglianza.
* Se due simboli sono uguali, allora uno può essere sostituito con l'altro.
* Se <math>a > b</math> e <math>b > c</math> allora <math>a > c</math> (transitività della [[disuguaglianza]]).
* Se <math>a > b</math> allora <math>a + c > b + c</math> per ogni ''c''.
* Se <math>a > b</math> e <math>c > 0</math> allora <math>ac > bc</math>.
* Se <math>a > b</math> e <math>c < 0</math> allora <math>ac < bc</math>.
 
== Voci correlate ==
 
* [[Binomio]]
* [[Distributività]]
* [[Frazione (matematica)|Frazione]]
 
{{algebra}}
 
 
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Algebra elementare| ]]
 
.
 
[[ar:جبر ابتدائي]]
[[be:Элементарная алгебра]]
[[bs:Elementarna algebra]]
[[de:Elementare Algebra]]
[[en:Elementary algebra]]
[[es:Álgebra elemental]]
[[fa:جبر مقدماتی]]
[[fr:Algèbre classique]]
[[he:אלגברה בסיסית]]
[[hu:Elemi algebra]]
[[id:Aljabar elementer]]
[[lo:ພຶດຊະຄະນິດພື້ນຖານ]]
[[nl:Elementaire algebra]]
[[pt:Álgebra elementar]]
[[ru:Элементарная алгебра]]
[[simple:Elementary algebra]]
[[sr:Елементарна алгебра]]
[[sv:Elementär algebra]]
[[ta:அடிப்படை இயற்கணிதம்]]
[[tl:Elementaryong alhebra]]
[[uk:Елементарна математика]]
[[ur:ابتدائی الجبرا]]
[[zh:初等代數]]
Utente anonimo