Distribuzione chi quadrato non centrale: differenze tra le versioni
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| nome = legge <math>\chi^2</math> non centrale
| tipo = densità
| pdf_image =[[Image:Chi-Squared-(nonCentral)-pdf.png|325px]]|
| cdf_image =[[Image:Chi-Squared-(nonCentral)-cdf.png|325px]]|
| parametri = <math>k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\ </math> (''[[gradi di libertà]]'')<br /><math>\lambda\geqslant0\ </math> ''non centralità''
| supporto = <math>x \in [0, \infty[</math>
| pdf = <math>\frac{1}{2}e^{-(x+\lambda)/2}\left (\frac{x}{\lambda} \right)^{k/4-1/2} I_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})</math>
| cdf = <math>\sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda/2} \frac{(\lambda/2)^j}{j!} \frac{\gamma(j+k/2,x/2)}{\Gamma(j+k/2)}\,</math>
| media = <math>k+\lambda\,</math>
| mediana =
| moda =
| varianza = <math>2(k+2\lambda)\,</math>
| skewness = <math>\frac{2^{3/2}(k+3\lambda)}{(k+2\lambda)^{3/2}}</math>
| curtosi = <math>\frac{12(k+4\lambda)}{(k+2\lambda)^2}</math>
| entropia =
| momgenfun = <math>\frac{ e^{\lambda t/(1-2t)} }{ (1-2 t)^{k/2} }</math> per <math>2t<1</math>
| funzcar = <math>\frac{ e^{i\lambda t/(1-2it)} }{ (1-2it)^{k/2} }</math>
}}
In [[teoria delle probabilità]] una '''variabile casuale <math>\chi^2\,\!</math> non centrale''' ([[chi (lettera)|chi]] quadrato, o chi quadro), è una [[variabile aleatoria]] la cui legge è una generalizzazione della [[variabile casuale chi quadro|legge χ<sup>2</sup>]].
==
Se <math>X_1,...,X_k</math> sono variabili aleatorie [[variabili indipendenti]] che seguono le [[variabile casuale normale|leggi normali]] [[varianza|ridotte]] (non necessariamente [[valore atteso|centrali]]) <math>\mathcal{N}(\mu_1,1),...,\mathcal{N}(\mu_k,1)</math>, allora la variabile aleatoria
:<math>\textstyle X^2=\sum_{i=1}^k X_i^2=X_1^2+\ldots+X_k^2</math>
segue la legge <math>\chi^2(k,\lambda)\,\!</math>, dove il parametro ''k'' è detto ''numero dei [[gradi di libertà]]'', e <math>\textstyle\lambda=\sum_{i=1}^k\mu_i^2</math> è il parametro di ''non centralità''. (La notazione per λ non è uniforme: alcuni autori prendono λ pari alla metà, oppure alla [[radice quadrata]] di questa somma.)
In particolare, per <math>\lambda=0</math> le variabili <math>X_i</math> sono [[valore atteso|centrate]] e si ottiene nuovamente la [[variabile casuale chi quadro|legge χ<sup>2</sup>]]:
:<math>\chi^2(k,0)=\chi^2(k)\ </math>
È possibile definire la legge χ<sup>2</sup> non centrata anche tramite variabili aleatorie indipendenti <math>Y_1,...,Y_i</math> di legge normale centrata ridotta <math>\mathcal{N}(0,1)</math>, prendendo <math>X_i=Y_i+\mu_i</math>, ovvero
:<math>\textstyle X^2=\sum_{i=1}^k(Y_i+\mu_i)^2\ </math>.
===
La distribuzione <math>\chi^2(k,\lambda)</math> dipende da λ e non dai singoli valori μ<sub>''i''</sub>.
Sullo [[spazio euclideo]] di [[dimensione di uno spazio vettoriale|dimensione]] ''k'', infatti, si possono considerare i vettori
:<math>\bar{X}=(X_1,\ \ldots,\ X_k)=(Y_1,\ \ldots,\ Y_k)+(\mu_1, \ldots,\ \mu_k)=\bar{Y}+\bar{\mu}</math>;
la distribuzione di probabilità del [[distribuzione normale multivariata|vettore normale multivariato]] <math>\bar{Y}</math> è [[isotropia|isotropa]], ovvero invariante per [[isometria]].
In particolare la variabile aleatoria <math>X^2</math>, che è il quadrato della norma di <math>\bar{X}=\bar{Y}+\bar{\mu}</math>, dipende dalle <math>\mu_i</math> solo in termini della norma di <math>(\mu_1,...,\mu_k)</math>, ovvero <math>\sqrt{\lambda}</math>.
== Proprietà ==
=== Somma ===
Per definizione, la somma di variabili aleatorie di leggi χ<sup>2</sup> non centrali è ancora una variabile aleatoria di legge χ<sup>2</sup> non centrale (somma dei quadrati di variabili normali ridotte).
Più precisamente, la somma di due variabili aleatorie di leggi <math>\chi^2(k',\lambda')</math> e <math>\chi^2(k'',\lambda'')</math> è una variabile aleatoria di legge <math>\chi^2(k,\lambda)</math>, con <math>k=k'+k''</math> e <math>\lambda^2=\lambda'^2+\lambda''^2</math>.
===
La distribuzione χ<sup>2</sup> ''non centrale'' può essere espressa come [[mistura di distribuzioni]] [[variabile casuale chi quadro|χ<sup>2</sup>]], pesate secondo la [[distribuzione di Poisson]].
In altri termini è la legge di una variabile aleatoria ''Z'', [[variabili dipendenti e indipendenti|dipendente]] da una variabile aleatoria ''J'' di [[variabile casuale di Poisson|legge di Poisson]] <math>\mathcal{P}(\lambda/2)</math>, con [[probabilità condizionata|distribuzione condizionata]] di ''Z'' rispetto a ''J'' data da <math>\chi^2(k+2J)\,\!</math>.
In particolare di χ<sup>2</sup>(''k'',λ) si possono descrivere
:la [[densità di probabilità]] <math>
f_{k,\lambda} = \sum_{j=0}^\infty \frac{e^{-\lambda/2} (\lambda/2)^j}{j!} f_{k+2j,0}(x),
</math>
:e la [[funzione di ripartizione]] <math>F_{k,\lambda} = \sum_{j=0}^\infty e^{-\lambda/2} \frac{(\lambda/2)^j}{j!} F_{k+2j,0}</math>
tramite la densità di probabilità <math>f_{k+2j,0}</math> e la funzione di ripartizione <math>F_{k+2j,0}</math> delle distribuzioni χ<sup>2</sup>(''k''+2''j'').
=== Caratteristiche ===
La [[funzione generatrice dei momenti]] della distribuzione χ<sup>2</sup>(''k'',λ) non centrale è
:<math>g(t)=E[e^tZ]=\frac{e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}</math>
I primi [[momento (statistica)|momenti semplici]] della distribuzione sono
:<math>\mu'_1=k+\lambda</math>
:<math>\mu'_2=(k+\lambda)^2 + 2(k + 2\lambda) </math>
:<math>\mu'_3=(k+\lambda)^3 + 6(k+\lambda)(k+2\lambda)+8(k+3\lambda)</math>
:<math>\mu'_4=(k+\lambda)^4+12(k+\lambda)^2(k+2\lambda)+4(11k^2+44k\lambda+36\lambda^2)+48(k+4\lambda)</math>
e i suoi primi [[momento (statistica)|momenti centrali]] sono
:<math>\mu_2=2(k+2\lambda)</math>
:<math>\mu_3=8(k+3\lambda)</math>
:<math>\mu_4=12(k+2\lambda)^2+48(k+4\lambda)</math>
La [[funzione caratteristica (teoria della probabilità)|funzione caratteristica]] di χ<sup>2</sup>(''k'',λ) è <ref>{{cita web | url=http://www.planetmathematics.com/CharNonChi.pdf | titolo=Characteristic function of the noncentral chi-square distribution | autore=M.A. Sanders | accesso=2009-03-07 | lingua={{en}}}}</ref>
:<math>\phi(t)=\frac{e^{it\lambda/(1-i2t)}}{(1-i2t)^{k/2}}</math>.
== Formule alternative ==
=== Densità di probabilità ===
La [[densità di probabilità]] <math>f_{k,\lambda}</math> della distribuzione χ<sup>2</sup>(''k'',λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule.
Una formula alternativa è
:<math>f_{k,\lambda}=\frac{1}{2} e^{-(x+\lambda)/2} \left (\frac{x}{\lambda}\right)^{k/4-1/2} I_{k/2-1}(\sqrt{\lambda x})</math>
dove
:<math> I_a(y) := (y/2)^a \sum_{j=0}^\infty \frac{ (y^2/4)^j}{j! \Gamma(a+j+1)}</math>
è una [[funzioni di Bessel|funzione di Bessel]] del primo tipo, modificata.
Una terza formula è
<ref>{{cita pubblicazione
| autore = D. Kerridge
| anno = 1965
| titolo = Gives a very interesting probabilistic derivation
| rivista = Aust. J. Statist.
}}</ref>
:<math>f(x)=e^{-\frac{\lambda}{2}}\sum_{r=0}^{\infin}{\frac{(\frac{\lambda}{2})^r\ e^{-\frac{x}{2}}\ x^{\frac{n}{2}+r-1}}{2^{\frac{n}{2}+r}\ r!\ \Gamma(\frac{n}{2}+r)}}
=\frac{e^{-\frac{x+\lambda}{2}}}{x}(\frac{x}{2})^\frac{n}{2}\sum_{r=0}^{\infin}{\frac{(\frac{\lambda}{2})^r\ x^r}{2^r\ r!\ \Gamma(\frac{n}{2}+r)}}</math> per <math>x>0</math>
===
{{C|Lo ''n'' nella formula non ha senso. Da controllare anche che sia il λ giusto.|probabilità|febbraio 2010}}
Anche la [[funzione di ripartizione]] <math>F_{k,\lambda}</math> della distribuzione χ<sup>2</sup>(''k'',λ) non centrale può essere descritta tramite altre formule. In particolare in [[statistica]] state proposti alcuni metodi per cercare di calcolarne alcuni valori <math>F_{k,\lambda}(x_0)</math>.
Una formula [[ricorsione|ricorsiva]], basata sulla funzione di ripartizione della distribuzione χ<sup>2</sup> (centrale) è
<ref>{{cita pubblicazione
| autore = M. L. Tiku
| anno = 1965
| titolo = Uses Laguerre polynomials to represent the noncentral chi-quare distribution
| rivista = Biometrika
}}</ref>
:<math>\textstyle F_{k,\lambda}(x) = F_{\frac{n}{2},0}(x) + \sum_{r>0} P_{r}(\frac{x}{2})\ </math>
dove
:<math>\textstyle P_0(x)=0 \qquad P_1(x)=\frac{\lambda}{2}\frac{e^{-x}x^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)} </math>
:<math>\textstyle P_r(x)=\frac{\lambda^2}{4}\frac{2(r-2)}{r(r-1)(n/2+r-1)}P_{r-2}(x) - \frac{\lambda}{2}\frac{n/2 + 2r - 3 - x}{r(n/2 + r - 1)}P_{r-1}(x)</math>
Valori approssimati si possono invece ottenere tramite la [[variabile casuale Gamma|distribuzione Γ]] e i primi due<ref>{{cita pubblicazione
| autore = P. B. Patnaik
| anno = 1949
| titolo = Points out some interesting geometrical features
| rivista = Biometrika
}}</ref>
o tre<ref>{{cita pubblicazione
| autore = E. Pearson
| anno = 1959
| titolo = Studies the accuracy of the three-moment chi-square approximation
| rivista = Biometrika
}}</ref>
[[momento (statistica)|momenti]], oppure tramite la [[variabile casuale normale|distribuzione normale]].<ref>{{cita pubblicazione
| autore = S. Abdel-Aty
| anno = 1954
| titolo = Gives various Cornish-Fisher-type approximations
| rivista = Biometrika
}}</ref>
== Distribuzioni non centrali ==
Utilizzando la distribuzione χ<sup>2</sup> non centrale come generalizzazione della distribuzione χ<sup>2</sup> (centrale) è possibile definire versioni ''non centrali'' delle distribuzioni [[variabile casuale t di Student|t di Student]], [[variabile casuale F di Snedecor|F di Fisher-Snedecor]] e [[variabile casuale Beta|Β (Beta)]].
== Note ==
<references/>
== Voci correlate ==
* [[
* [[Valore atteso]]
* [[Variabile casuale chi quadrato]]
* [[Variabile casuale normale]]
* [[Variabile casuale di Poisson]]
* [[Varianza]]
{{Portale|matematica}}
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