Teorema di Banach-Caccioppoli: differenze tra le versioni
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Negli spazi metrici <math>(X, d)</math>, una contrazione non è che un caso particolare di [[condizione di Lipschitz|applicazione lipschitziana]]: sia infatti <math> T </math> tale che esista un numero reale <math> \Lambda \geq 0 </math> per cui valga per ogni <math> x,y \in X </math>
:<math> d(
se <math> 0 \leq \Lambda < 1 </math> si ricade nel caso di contrazione.
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{{Matematica voce|Teorema|Teorema delle contrazioni|
Sia <math>(X, d)</math> uno [[spazio metrico]] [[spazio completo|completo]] non [[insieme vuoto|vuoto]]. Sia <math> T : X \rightarrow X</math> una ''[[contrazione]]'' su <math> X </math> per ogni <math> x,y \in X </math>. Allora la mappa <math> T </math> ammette uno e un solo [[punto fisso]] <math> x^* \, =
}}
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Sia definita una [[successione (matematica)|successione]] [[composizione di funzioni#Composizioni iterate|ricorrente]] (o successione delle iterate) come segue:
:<math> x_1 =
Sfruttiamo la metrica <math> d </math> e la proprietà di contrazione per valutare la [[distanza]] tra due punti successivi <math> x _{n}, x_{n+1} </math>:
:<math> d(x _{n}, x_{n+1}) = d(
:<math> \leq k^2 \; d(x _{n - 2}, x_{n - 1}) \leq ... \leq k^n \; d(x _0, x_1) \, .</math>
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