Disuguaglianza di Bernoulli: differenze tra le versioni

La '''disuguaglianza di Bernoulli''' afferma che:

per ogni [[numero intero|intero]] ''n'' ≥ 0 e ogni [[numero reale]] ''x'' > -1. La disuguaglianza di Bernoulli è un passo cruciale nella dimostrazione di altre disuguaglianze.

 

La [[disuguaglianza (matematica)|disuguaglianza]] è banalmente vera per ''n'' = 0. Dimostriamola allora per [[induzione matematica|induzione]]. Supponiamo che sia vera per ''n'': allora dobbiamo dimostrare che è vera anche per ''n'' + 1. Moltiplichiamo entrambi i membri per (1 + ''x''), fattore che è sempre maggiore di 0 per ipotesi. Otteniamo:

 

 

Poiché ''nx''² ≥ 0, l'omissione di questo termine può solo rendere più forte la relazione di disuguaglianza, quindi:

 

 

== Generalizzazioni ==

Se l'esponente ''n'' è [[numero pari|pari]], la disuguaglianza è valida per ''ogni'' numero reale ''x''. Se ''n'' ≥ 2 e ''x'' > −1 con ''x'' ≠ 0, allora vale la disuguaglianza stretta:

 

 

Vi sono anche delle versioni più forti della disuguaglianza di Bernoulli, per esempio: