Misura di Haar: differenze tra le versioni

Questa [[misura (matematica)|misura]] venne introdotta da [[Alfréd Haar]], un [[matematico]] [[Ungheria|ungherese]], intorno al [[1932]]. Le misure di Haar sono usate in molte aree dell'analisi e della teoria dei numeri.

Sia ''G'' un gruppo topologico localmente compatto. In questa voce, la [[Sigma-algebra|σσ-algebra]] generata da tutti i [[insieme compatto|sottoinsiemi compatti]] di ''G'' è detta [[algebra di Borel]]. Un elemento dell'algebra di Borel è detto [[insieme di Borel]].

Una misura μμ sui sottoinsiemi di Borel di ''G'' è detta ''invariante per traslazioni sinistre'' se e solo se

Si vede che, [[a meno di]] una costante moltiplicativa positiva, esiste solo una misura μμ definita sui sottoinsiemi di Borel di ''G'', invariante per traslazioni sinistre, numerabilmente additiva e [[regolare]], tale che μμ(''U'') > 0 per ogni insieme di Borel non vuoto ''U''. Qui, seguendo Halmos^{[[#Bibliografia|1]]}, Sezione 52, diciamo che μμ è '''regolare''' [[se e solo se]]:

* μμ(''K'') è finita per ogni insieme compatto ''K''.

'''Osservazione'''. In alcuni casi patologici, un insieme può essere aperto senza essere di Borel. Per questa ragione, nella proprietà della regolarità esterna, si specifica che l'estremo inferiore si estende solo sugli insiemi aperti e di Borel. Queste patologie non si incontrano se ''G'' è un gruppo localmente compatto la cui topologia sottostante è una metrica separabile; in questo caso la struttura di Borel è quella generata da tutti gli insiemi aperti.

== La misura di Haar destra ==

Può essere dimostrato che esiste essenzialmente un'unica misura di Borel invariante per traslazioni destre νν, ma non coincide necessariamente con la misura invariante per traslazioni sinistre μμ. Queste misure sono le stesse solo per i cosiddetti ''gruppi unimodulari'' (vedi più avanti). È tuttavia facile trovare una relazione fra μμ e νν.

Poiché la misura destra è unica, segue che μμ_-1 è un multiplo di νν e quindi

== L'integrale di Haar ==

Usando la teoria generale dell'[[integrazione di Lebesgue]], si può allora definire un integrale per tutte le [[Funzione misurabile|funzioni misurabili]] ''f'' su ''G''. Questo integrale è detto ''integrale di Haar''. Se μμ è una misura di Haar sinistra, allora

per ogni funzione integrabile ''f''. Questo è immediato per le funzioni a scala, essendo fondamentalmente la definizione di invarianza sinistra.

== Utilità ==

== Esempi ==

* Se ''G'' è il gruppo dei numeri reali positivi dotati dell'operazione di moltiplicazione, allora la misura di Haar μμ(''S'') è data da

:dove ''dX'' denota la misura di Lebesgue su '''R'''^{<math>n^2</math>}, l'insieme di tutte le <math>n\times n</math>-matrici. Questo segue dalla [[formula di cambiamento delle variabili]].

* Più in generale, su ogni [[gruppo di Lie]] di dimensione ''d'', una misura di Haar può essere associata a una ''d''-forma &omega;ω non nulla e invariante per traslazioni, come ''misura di Lebesgue'' |&omega;ω|; e un risultato analogo vale per la misura di Haar destra. Questo significa inoltre che la funzione modulare può essere calcolata, come valore assoluto del [[determinante]] della [[rappresentazione aggiunta]].

La traslata ''sinistra'' di una misura di Haar destra è una misura di Haar destra. Più in dettaglio, se &mu;μ è una misura di Haar destra, allora anche

è invariante a destra. Quindi, esiste un'unica funzione &Delta;Δ, detta '''funzione modulare''' tale che per ogni insieme di Borel ''A''

Un gruppo è unimodulare se e solo se la funzione modulare è identicamente 1. Esempi di gruppi unimodulari sono i gruppi compatti e i gruppi abeliani. Un esempio di un gruppo non unimodulare è il gruppo ''ax'' + ''b'' delle trasformazioni della forma

== Bibliografia ==

* [[Alfréd Haar]]

* [[Wavelet Haar]]

[[sr:МераХарова Хаарамера]]