Differenze tra le versioni di "Topologia quoziente"

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un insieme di classi di equivalenze in ''X''/~ è [[insieme aperto|aperto]] se e solo se la loro unione è aperta in ''X''.
 
Sia ''q'' : ''X'' → ''X''/~ la proiezione che manda ogni elemento di ''X'' nella sua classe. Elenchiamo alcune definizioni equivalenti di topologia quoziente sull'insieme ''X''/~:
[[ImmagineFile:QuotientSpace-01.png|right|Proprietà universale della topologia quoziente]]
* Un insieme in ''X''/~ è aperto se e solo se lo è la sua controimmagine tramite ''q'' in ''X''.
* La topologia su ''X''/~ è la topologia più [[Relazione di finezza|fine]] fra tutte quelle che rendono la mappa ''q'' continua.
* La topologia su ''X''/~ è l'unica che soddisfi la seguente ''proprietà universale'': se ''g'' : ''X'' &rarr; ''Z'' è una [[funzione continua]] tale che ''a''~''b'' implica ''g''(''a'')=''g''(''b'') per ogni ''a'' e ''b'' in ''X'', allora esiste una unica funzione continua ''f'' : ''X''/~ &rarr; ''Z'' tale che ''g'' = ''f'' <small>o</small> ''q''.
 
Nell'ultima definizione, diciamo che ''g'' ''scende al quoziente''.
 
== Esempi ==
* '''Incollamento.''' In topologia si costruiscono numerosi spazi per "incollamento". Se ''X'' è uno spazio topologico e due punti ''x'' e ''y'' di ''X'' vengono incollati, si costruisce lo spazio quoziente tramite la seguente semplice relazione di equivalenza: ''a ~ b'' se e solo se ''a = b'' oppure ''a = x, b = y'' (oppure ''a = y, b = x''). I due punti quindi diventano un punto solo. Ad esempio, in questo modo si può ottenere uno [[spazio connesso]] da uno avente due [[componente connessa|componenti connesse]].
:* In generale, se ''A'' è un sottoinsieme di uno spazio topologico ''X'', si costruisce uno spazio quoziente che "identifica ''A'' ad un solo punto" mediante la relazione di equivalenza ''a ~ b'' se e solo se ''a'' e ''b'' sono elementi di ''A''. Tale spazio viene talvolta indicato con ''X''/''A''
* Consideriamo ''X'' = '''R''' l'insieme di tutti i [[numeri reali]], e poniamo ''x'' ~ ''y'' se e solo ''x''&minus;''y'' è un [[intero]]. Lo spazio quoziente ''X''/~ è [[omeomorfo]] al [[cerchio]] ''S''<sup>1</sup> tramite la mappa che manda la classe di equivalenza di ''x'' su exp(2&pi;''ix'').
* L'esempio precedente può essere esteso in dimensione arbitraria. Consideriamo ''X'' = '''R'''<sup>n</sup> e poniamo ''x ~ y'' se e solo se le ''i''-esime coordinate dei vettori ''x'' e ''y'' differiscono di un intero, per ogni ''i''. Lo spazio quoziente è omeomorfo al [[toro (geometria)|toro]] se ''n'' = 2, ed è chiamato ''toro ''n''-dimensionale'' per ''n'' qualsiasi. Il toro ''n''-dimensionale è omeomorfo al [[topologia prodotto|prodotto]] di ''n'' cerchi.
* La [[bottiglia di Klein]] può essere ottenuta quozientando il [[toro (geometria)|toro]] tramite una opportuna relazione di equivalenza.
* Il [[nastro di Möbius]] può essere ottenuto quozientando l'[[anello (topologia)|anello]] tramite una opportuna relazione di equivalenza.
* Lo [[spazio proiettivo]] è ottenuto quozientando uno [[spazio vettoriale]] privato dell'origine tramite la relazione seguente: ''x ~ y'' se e solo se ''x'' e ''y'' sono multipli (cioè stanno sulla stessa retta).
 
== Proprietà ==
[[pt:Espaço topológico quociente]]
[[ru:Факторпространство]]
[[uk:ФакторпростірФактор-простір]]
[[zh:商空间]]
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