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I poligoni vengono estesi alla dimensione successiva prolungando di un punto due lati consecutivi e aggiungendo poi i restanti lati fra questi. Nei seguenti schemi, ogni nuovo livello è indicato da pallini rossi.
<br>
'''Numeri triangolari'''
[[File:Polygonal_Number_3.gif|500px|none]]
{|
<br>
! 1 !! !! 3 !! !! 6 !! !! 10
|- align="center" valign="top"
|[[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]
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|[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]
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|[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]
|}
'''Numeri quadrati'''
[[File:Polygonal_Number_4.gif|500px|none]]
{|
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! 1 !! !! 4 !! !! 9 !! !! 16
|- align="center" valign="top"
|[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]
|
|[[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]
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|[[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]
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|[[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]]
|}
Anche poligoni con un maggior numero di lati, come i pentagoni e gli esagoni, possono essere rappresentati a punti (il primo numero poligonale, qualunque sia il numero di lati, è 1). In questi casi, però, il diagramma che si ottiene non è più altamente simmetricocompatto, come nei casi di poligoni con tre o quattro lati.
'''Numeri pentagonali''':
[[File:Polygonal_Number_5.gif|500px|none]]
1:
<br>
+ x
5:
x x
+ + x x
+ + x x
12:
x x
x x x x
+ x x + x x x x
+ + x x
+ + + x x x
22:
x x
x x x x
x x x x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x x + x x x x x
+ + x x
+ + + + x x x x
35:
x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ x x x x x + x x x x x x x
+ x x + x x x x
+ x x x x + x x x x x x
+ + x x
+ + + + + x x x x x
'''Numeri esagonali'''
[[File:Polygonal_Number_6.gif|500px|none]]
{|
<br>
! 1 !! !! 6 !! !! 15 !! !! 28
|- align="center" valign="middle"
|[[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:GrayDotX.svg|16px|*]][[Immagine:Blank300.png|16px| ]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]<br
>[[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDot.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]][[Immagine:RedDotX.svg|16px|*]]
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Se ''s'' è il numero di lati di un poligono, la formula per l'''n''-esimo numero ''s''-poligonale è
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