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=== Il modello statistico ===
Considerando un sistema formato da ''N'' particelle totali con energia totale
 
:<math>E=\begin{matrix}\sum_{i} N_i\end{matrix} \epsilon_i</math>
 
si assume che la distribuzione all'equilibrio sia quella più probabile e quella a cui compete il valore massimo del [[peso statistico]] ''W''. Se in queste condizioni ha luogo una variazione infinitesima <math>\delta</math> della distribuzione, ricordando che
 
:<math>W=\frac {N!}{\prod_{i} N_i!}</math>
 
ovvero in forma [[logaritmo|logaritmica]]
 
:<math>ln W = ln N! - \begin{matrix}\sum_{i}\end{matrix} ln N_i!</math>
 
e la restrizione che non cambi né il numero totale di particelle né l'energia totale del sistema, si perviene a
 
:<math>\delta(ln W)=\begin{matrix}\sum_{i}\end{matrix} \delta(ln N_i!)=0</math>
 
Visto che si ha a che fare con valori elevati (es. un [[numero di Avogadro]] di particelle), si può applicare l'[[approssimazione di Stirling]]
 
:<math>\operatorname ln x! = x ln x - x </math>
 
ottenendo in tal modo
 
:<math>\begin{matrix}\sum_{i}\end{matrix} \delta(ln N_i!)= \begin{matrix}\sum_{i} \end{matrix}\delta(N_i ln N_i - N_i)=\begin{matrix}\sum_{i}\end{matrix} (ln N_i)\delta N_i=0</math>
 
Tenendo contemporaneamente conto delle equazioni che vincolano le fluttuazioni di distribuzione, ovvero
 
:<math>\begin{matrix}\sum_{i}\end{matrix} \delta N_i =0</math>
 
:<math>\begin{matrix}\sum_{i}\end{matrix} \epsilon_i \delta N_i =0</math>
 
:<math>\delta(ln W)=\begin{matrix}\sum_{i}\end{matrix} \delta(ln N_i!)=0</math>
 
è possibile affrontare il problema utilizzando il [[metodo dei moltiplicatori di Lagrange]] introducendo i coefficienti <math>\alpha</math> e <math>\beta</math>. Assegnando a questi due coefficienti un valore tale che ad esempio i termini <math>\delta N_1</math> e <math>\delta N_2</math> dell'equazione
 
:<math>\begin{matrix}\sum_{i}\end{matrix} (\alpha + \beta \epsilon_i + ln N_i)\delta N_i=0</math>
 
risultino nulli, allora non si fa altro che imporre che la somma dei termini in <math>\delta N_i</math> con i>2 sia eguale a zero. Il che equivale quindi alla condizione generale
 
:<math>\alpha + \beta \epsilon_i + ln N_i = 0 \ </math>
che può anche essere espressa nella forma esponenziale
 
che può anche essere espressa nella forma esponenziale
 
:<math>N_i = e^{-\alpha}e^{-\beta \epsilon_i}</math>
 
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