Differenze tra le versioni di "Matrice trasposta"

nessun oggetto della modifica
 
In pratica, la matrice trasposta si deve intendere come una matrice in cui le colonne diventano righe e le righe diventano colonne.
 
=== Esempio ===
:<math>
A =
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 7\\
3 & 2 & 0\\
5 & 3 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix} \quad
A^T =
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 & 0\\
4 & 2 & 3 & 1\\
7 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\,\!</math>
 
== Proprietà ==
<li>Se '''A''' è una matrice quadrata, allora i suoi autovalori sono uguali agli autovalori della sua trasposta.
</ol>
=== Esempio ===
:<math>
A =
\begin{pmatrix}
2 & 4 & 7\\
3 & 2 & 0\\
5 & 3 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix} \quad
A^T =
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 5 & 0\\
4 & 2 & 3 & 1\\
7 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\,\!</math>
 
La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e quindi anche su [[Vettore (matematica)|vettori]]. In particolare un [[vettore colonna]] trasposto è un vettore [[riga]] e viceversa.<br />
Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]]. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.<br />
La trasposta di una matrice trasposta è uguale alla matrice originaria: <math> (A^T)^T = A </math>.<br />
Uno [[scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'' ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici ''A'' e ''B'' di [[prodotto tra matrici|dimensioni opportune]] si ha che
 
:<math>(AB)^T = B^TA^T \ne A^TB^T,</math>
 
l'operatore di trasposizione è [[trasformazione lineare|lineare]], ovvero, dati due scalari ''k'' ed ''l'', vale
 
:<math>(kA+lB)^T = (kA)^T+(lB)^T = kA^T+lB^T.</math>
 
Più in generale, dati N scalari ''k<sub>i</sub>'' ed N matrici di pari dimensioni ''A<sub>i</sub>'', vale
 
:<math>(\sum_{i=1}^{N}</math><math>k_iA_i)^T=\sum_{i=1}^{N}k_iA_i^T</math>
 
=== Osservazioni ===
dove la ''Σ'' indica una [[sommatoria]].
* La trasposizione è definita su m ed n qualunque, ovvero sia su matrici quadrate che rettangolari e quindi anche su [[Vettore (matematica)|vettori]]. In particolare un [[vettore colonna]] trasposto è un vettore [[riga]] e viceversa.<br />
* Una matrice che coincide con la propria trasposta è detta [[matrice simmetrica]]. La simmetricità della matrice è definita soltanto su matrici quadrate.<br />
* La trasposta di una matrice trasposta è uguale alla matrice originaria: <math> (A^T)^T = A </math>.<br />
* Uno [[scalare]] può essere visto come un caso particolare di matrice simmetrica ''1 × 1'' ed è pertanto invariante alla trasposizione. Quindi, sebbene in generale date due matrici '''A''' e '''B''' di [[prodotto tra matrici|dimensioni opportune]] si haabbia che
:<math>(\mathbf{AB})^T = \mathbf{B}^TAT\mathbf{A}^T \ne \mathbf{A}^TBT\mathbf{B}^T,</math>
:l'operatore di trasposizione è [[trasformazione lineare|lineare]], ovvero, dati due scalari ''k'' ed ''l'', vale
:<math>(k\mathbf{A}+l\mathbf{B})^T = (k\mathbf{A})^T+(l\mathbf{B})^T = k\mathbf{A}^T+l\mathbf{B}^T.</math>
:Più in generale, dati N scalari ''k<sub>i</sub>'' ed N matrici di pari dimensioni ''A<sub>i</sub>'', vale
:<math> \left( \sum_{i=1}^{N}</math><math>k_iA_i k_i \mathbf{A}_i \right) ^T = \sum_{i=1}^{N}k_iA_i k_i \mathbf{A}_i^T </math>
:dove la ''Σ'' indica una [[sommatoria]].
 
{{Portale|matematica}}
20

contributi