Copertura lineare: differenze tra le versioni

In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra lineare]], un '''sottospazio generato''' da alcuni vettori è un particolare [[sottospazio vettoriale]] di uno [[spazio vettoriale]]. Si tratta dell'insieme ottenuto prendendo tutte le [[combinazione lineare|combinazioni lineari]] di questi vettori, detti ''generatori''.

 

== Definizione ==

Sia <math>V</math> uno [[spazio vettoriale]] su un [[campo (matematica)|campo]] <math>K</math>. Siano <math>v_1,\ldots,v_n</math> alcuni vettori di <math>V</math>. Il '''sottospazio generato''' da questi vettori è il sottoinsieme di <math>V</math> formato da tutte le [[combinazione lineare|combinazioni lineari]] di questi vettori. In altre parole:

 

La definizione data può essere estesa facilmente ad una famiglia qualsiasi di vettori

indicizzata da una <math>i </math> che varia in un insieme <math> I </math> di [[cardinalità]] arbitraria (finita, numerabile, ...): una combinazione lineare è semplicemente una combinazione che si serve di un numero finito di questi, ed il sottospazio generato è sempre definito come l'insieme dei risultati di tali composizioni.

 

Da quanto appena detto segue quindi che la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di un sottospazio generato da <math> n </math> vettori è al più <math>n</math>, ed è proprio <math> n </math> se e solo se questi sono indipendenti.

 

=== Nel piano ===

In <math>\R^2</math>, i vettori <math>(1,2)</math> e <math>(2,4)</math> sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una [[retta]]. Formalmente scriviamo <math>Span \{(1,2), (2,4)\} = Span \{(1,2)\}</math>. I vettori <math>(1,2)</math> e <math>(2,1)</math> invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro <math>\R^2</math>: uno spazio di dimensione <math>n</math> ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione <math>n</math>, e perciò <math>Span{(1,2), (2,1)} = \R^2</math>.

[[fr:Sous-espace vectoriel engendré]]

[[he:קבוצה פורשת]]

[[nl:Lineair omhulsel]]

[[pl:Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa]]