Superficie di rotazione: differenze tra le versioni

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In [[Matematica|matematica]] una '''superficie di rotazione''' è ottenuta ruotando una curva attorno ad una retta che viene detta [[Asse di rotazione|asse di rotazione]].
{{A|confuso. Coniche complanari una retta ed una curva qualsiasi...|matematica|maggio 2006|[[Utente:Mikelima|Mikelima]] 16:54, 21 mag 2006 (CEST)}}
Essa viene definita da due [[coniche complanari]] r, s, [http://xoomer.virgilio.it/alisawi/surface01.htm Vedi figura] rispettivamente, r è una retta che funge da asse di rotazione e l'altra conica s, detta generatrice, esegue un movimento rotatorio completo intorno a tale asse di rotazione r . In questo modo ciascun punto P della generatrice s descrive una circonferenza che centro su r; l'insieme di queste circonferenze forma la superficie di rotazione. Le curve tipiche costituenti la detta superficie sono: - i paralleli (sezioni con piani perpendicolari all'asse del solido); - i meridiani (sezioni con piani passanti per l'asse del solido). Altro parallelo notevole è quello di raggio minimo, inoltre sono da rappresentare il paralleli di massima e di minima quota, che delimitano la superficie.
 
La curva ottenuta intersecando un piano perpendicolare all'asse di rotazione si chiama '''parallelo''' della superficie di rotazione. La curva ottenuta intersecando un piano passante per l'asse di rotazione è detta '''meridiano'''.
[[categoria: Geometria descrittiva]]
 
==Equazione parametrica==
In generale una superficie di rotazione <math>\Sigma</math> è rappresentabile in equazioni parametriche fissando un sistema di riferimento cartesiano e rappresentando le equazioni parametriche della curva che la genera. Scegliamo ''z'' (per esempio) coincidente con l'asse di rotazione, le equazioni della curva sono:
 
:<math>\begin{cases} x = x(u) \ge 0 \\ y = 0 \\ z = z(u) \end{cases}</math>
 
dove <math>u = [a,b]</math> è un parametro reale.
 
Ora supponendo che la curva sopra ruoti di un angolo <math>\theta</math> attorno all'asse ''z'', otteniamo le equazioni parametriche della superficie di rotazione:
 
:<math>\begin{cases} x = x(u) \cos \theta \\ y = y(u) \sin \theta \\ z = z(u) \end{cases}</math>
 
==Equazione cartesiana==
Allo stesso modo possiamo rappresentare la curva che genera la superficie pensandola come equazione cartesiana:
 
:<math>\begin{cases} f(x,z) = 0 \\ y = 0 \end{cases}</math>
 
Prendiamo un punto fisso della curva <math>(x_0,0,z_0)</math> e vediamo che se lo facciamo ruotare intorno a ''z'' di un angolo <math>\theta</math> otteniamo un altro punto di equazioni:
 
:<math>\begin{cases} x = x_0 \cos \theta \\ y = x_0 \sin \theta \\ z = z_0 \end{cases}</math>
 
Poiché quadrando le prime due equazioni otteniamo: <math>x_{0}^{2} = x^2 + y^2</math> si vede che <math>x_0 \ge 0</math>. Allora l'equazione cartesiana della superficie di rotazione è:
 
:<math>f \left ( \sqrt{x^2 + y^2},z \right) = 0</math>
 
==Prima forma differenziale di Gauss==
Facendo riferimento a quanto detto sulle [[Superficie parametrica|superfici parametriche]] possiamo ricavare l'espressione della prima forma quadratica di Gauss, che rappresenta in genere l'elemento di superficie. Poiché essa è una superficie regolare possiamo ricavare i vettori tangenti alle due linee ''t'' e ''&theta;'':
 
:<math>\vec T_u = ( x' \cos \theta, y' \sin \theta, z')</math>
 
:<math>\vec T_{\theta} = (-x \sin \theta, x \cos \theta, 0)</math>
 
Allora i coefficienti della prima forma differenziale di Gauss diventano:
 
:<math>E = \vec T_u \times \vec T_u = x'^2 + z'^2</math>
 
:<math>F = \vec T_u \times \vec T_{\theta} = 0</math>
 
:<math>G = \vec T_{\theta} \times \vec T_{\theta} = x^2</math>
 
La prima forma quadratica di Gauus è:
 
:<math>\left( x'^2 + z'^2 \right) du^2 + x^2 d \theta^2</math>
 
In tal caso l'elemento di superficie diventa:
 
:<math>d \sigma = \sqrt{x'^2 + z'^2} \cdot x \cdot du d\theta </math>
 
e se ne può calcolare l'area:
 
:<math>Area (\Sigma) = \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{a}^{b}\sqrt{x'^2 + z'^2} \cdot x \cdot du</math>
 
Un caso particolare e notevole è la rappresentazione della curva che genera la superficie di rotazione mediante l'[[Ascissa curvilinea|ascissa curvilinea]]. In tal caso vale il [[Teorema di Pappo|teorema di Pappo]] e i coefficienti della prima forma quadratica si riducono:
 
:<math>E = \vec T_s \times \vec T_s = 1</math>
 
:<math>F = \vec T_s \times \vec T_{\theta} = 0</math>
 
:<math>G = \vec T_{\theta} \times \vec T_{\theta} = x^2</math>
 
dove <math>s = [a,b]</math> è il nuovo parametro dell'ascissa curvilinea. La prima forma quadratica di Gauus diventa:
 
:<math>ds^2 + x^2 d \theta^2</math>
 
con elemento di superficie:
 
:<math>d \sigma = x \cdot ds d\theta </math>
 
e area calcolabile immediatamente:
 
:<math>Area (\Sigma) = \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{a}^{b} x \cdot ds = \int_{a}^{b} 2 \pi x \cdot ds</math>
 
==Seconda forma differenziale di Gauss==
*Da fare
 
==Voci correlate==
*[[Superficie rigata]]
*[[Superficie parametrica]]
*[[Superficie (matematica)|Superficie]]
 
[[categoria: Geometria descrittivadifferenziale]]
 
[[de:Mantelfläche]]
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