Bias (statistica): differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
clean up using AWB |
|||
Riga 34:
===Esempio: stimatore della varianza===
Si consideri ad esempio un campione ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X''<sub>''n''</sub> di [[variabile casuale|variabili casuali]] indipendenti e identicamente distribuite, con [[valore atteso]]
::<math>\bar{X}=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)</math>
la ''media campionaria'', e:
::<math>S^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}\,)^2</math>
la ''varianza campionaria''. Si può mostrare che ''S''<sup>2</sup> è uno stimatore distorto per
::<math>\operatorname{E}(S^2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2\neq\sigma^2.</math>
Se tuttavia il campione è estratto da una popolazione avente [[variabile casuale normale|distribuzione normale]], tale stimatore ''distorto'' è, sulla base del criterio - comunemente adottato - dell'[[errore quadratico medio]] (MSE, dall'[[lingua inglese|inglese]] ''Mean Squared Error'') preferibile allo stimatore ''corretto'' che si avrebbe sostituendo ''n'' − 1 al denominatore, laddove la definizione di ''S''<sup>2</sup> sopra presentata ha ''n''. Anche allora, ad ogni modo, la [[radice quadrata]] dello stimatore corretto per la [[varianza]] della popolazione non è uno stimatore corretto della [[deviazione standard]] della popolazione; ciò segue banalmente dalla [[disuguaglianza di Jensen]].
===Esempio===
Un caso in cui uno stimatore distorto può risultare preferibile a uno corretto è il seguente. Si supponga che ''X'' abbia [[variabile casuale poissoniana|distribuzione di Poisson]] con parametro
::<math>\operatorname{P}(X=0)^2=e^{-2\lambda}</math>
La sola funzione del campione che fornisce uno stimatore corretto è:
Line 56 ⟶ 55:
è minore; l'errore quadratico medio (MSE) dello stimatore corretto è infatti pari a:
::<math>\ 1-e^{-4\lambda}</math>
L'errore quadratico medio è una funzione del vero valore di
::<math>\ e^{-2\lambda}-e^{\lambda(1/e^2-1)}</math>
===Distorsione dello stimatore di massima verosimiglianza===
Line 75 ⟶ 73:
== Collegamenti esterni ==
*[http://www.math.umn.edu/~hardy/An_Illuminating_Counterexample.pdf ''An Illuminating Counterexample''] (in [[lingua inglese|inglese]])
| |||