Misura di Lebesgue: differenze tra le versioni

In [[matematica]], la '''misura di Lebesgue''' (che è definita più avanti attraverso la sua costruzione) costituisce una generalizzazione del concetto elementare di [[volume]] dei sottoinsiemi dello [[spazio euclideo]]. È usata in [[analisi matematica]], in particolare nella definizione dell'[[integrale di Lebesgue|integrazione secondo Lebesgue]]. Gli insiemi a cui è possibile assegnare una misura di Lebesgue sono detti '''misurabili secondo Lebesgue'''; la misura dell'insieme Lebesgue-misurabile ''A'' è indicato con λλ(''A''). Se si assume l'[[assioma della scelta]], non tutti gli insiemi '''R'''^''n'' sono Lebesgue-misurabili, un classico esempio di insieme non misurabile è l'[[insieme di Vitali]]. Lo "strano" comportamento degli [[insieme non misurabile|insiemi non misurabili]] dà origine a risultati come il [[paradosso di Banach-Tarski]], una conseguenza anch'esso dell'assioma della scelta.

# Se ''A'' è un [[prodotto cartesiano]] di [[intervallo (matematica)|intervalli]] della forma ''I''₁ ⋅⋅ ''I''₂ ⋅⋅ ... ⋅⋅ ''I''_''n'', allora ''A'' è Lebesgue-misurabile e λλ(''A'') = |''I''₁| ⋅⋅ ... ⋅⋅ |''I''_''n''|. Qui |''I''| indica la lunghezza dell'intervallo ''I''.

# Se ''A'' è l'unione disgiunta di un numero finito o [[numerabile]] di insiemi disgiunti Lebesgue-misurabili, allora ''A'' è Lebesgue-misurabile e λλ(''A'') è uguale alla somma (o alla [[serie]]) delle misure degli insiemi misurabili coinvolti.

# λλ(''A'') ≥≥ 0 per ogni insieme Lebesgue-misurabile ''A''.

# Se ''A'' e ''B'' sono Lebesgue-misurabile e ''A'' è un sottoinsieme di ''B'', allora λλ(''A'') ≤≤ λλ(''B''). (Conseguenza di 2, 3 e 4.)

# Se ''A'' è un insieme Lebesgue-misurabile con λλ(''A'') = 0 (un [[insieme di misura nulla]]), allora ogni sottoinsieme di ''A'' è un insieme di misura nulla.

# Se ''A'' è Lebesgue-misurabile e ''x'' è un elemento di '''R'''^''n'', allora la ''traslazione di A mediante x'', definita da ''A'' + ''x'' = {''a'' + ''x'' : ''a'' ∈∈ ''A''}, è Lebesgue-misurabile e ha la stessa misura di ''A''.

Un sottoinsieme di '''R'''^''n'' è un insieme di misura nulla se, per ogni εε > 0, può essere coperto con un insieme numerabile di prodotti di ''n'' intervalli il cui volume totale è al massimo εε. Tutti gli insiemi [[numerabile|numerabili]] sono insiemi di misura nulla, così pure gli insiemi in '''R'''^''n'' la cui [[dimensione]] è più piccola di ''n'', ad esempio rette o circonferenze in '''R'''^''2''.

Per mostrare che un dato insieme ''A'' è misurabile secondo Lebesgue, in genere si cerca di trovare un insieme più "gradevole" ''B'' che differisce da ''A'' solo per un insieme di misura nulla (nel senso che la differenza simmetrica (''A'' − ''B'') ∪∪ (''B'' − ''A'') è un insieme di misura nulla) e quindi mostrare che ''B'' può essere generato usando unioni e intersezioni numerabili di insiemi aperti o chiusi.

dove vol(''M'') è la somma dei prodotti delle lunghezze degli intervalli coinvolti. Si può dimostrare che λλ* è una [[misura esterna]]. Si definisce quindi l'insieme ''A'' misurabile secondo Lebesgue se

per tutti gli insiemi ''B''. Per il [[teorema di Carathéodory]] questi insiemi Lebesgue-misurabili formano una σσ-algebra, e la misura di Lebesgue è definita da λλ(''A'') = λλ^*(''A'') per ogni insieme Lebesgue-misurabile ''A''.