Gruppi di omotopia: differenze tra le versioni
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==Definizione==
===Omotopia===
Scegliamo un ''punto base'' ''p'' nella sfera ''n''-dimensionale ''S<sup>n</sup>'', ed un altro punto base ''x'' in un dato [[spazio topologico]] ''X''. Definiamo quindi l'insieme
Equivalentemente, possiamo definire
Le due definizioni sono equivalenti perché [[topologia quoziente|quozientando]] il bordo del cubo ad un punto si ottiene la sfera.
===Struttura di gruppo===
[[File:Homotopy group addition.svg|thumb|240px|right|Composizione di due mappe.]]
Per ''n''
Possiamo descrivere questa operazione in modo più rigoroso interpretando ''f'' e ''g'' come mappe dal cubo a ''X'': consideriamo lo spazio
:''C'' = [0, 2] x [0, 1]<sup>n-1</sup>, unione di due cubi [0, 1] x [0, 1]<sup>n-1</sup> e [1, 2] x [0, 1]<sup>n-1</sup>.
Definiamo una funzione continua ''h: C
A questo punto "strizziamo" ''C'' per ottenere un altro cubo tramite la mappa
:s:[0, 1]''<sup>n</sup>'' → ''C'' ''s''(''t''<sub>1</sub>, ... ''t<sub>n</sub>'') = (2''t''<sub>1</sub>, ''t''<sub>2</sub>,... ''t<sub>n</sub>'')
e quindi definiamo finalmente ''f'' * ''g'' come ''h'' o ''s''. Notiamo che anche ''f'' * ''g'' manda tutto il bordo del cubo su ''X'', e quindi è un elemento di
== Proprietà ==
* L'insieme
* Il gruppo
* Il gruppo
* Ogni mappa continua ''f'': ''Y''
:''f''<sub>*</sub> π<sub>''n''</sub>(''Y'', ''y'') → π<sub>''n''</sub>(''X'', ''x'')
* Mappe omotope inducono gli stessi omomorfismi. Segue che spazi [[omotopia|omotopicamente equivalenti]] hanno gli stessi gruppi di omotopia (da cui il nome!)
* Se ''f'': ''Y''
==Esempi==
Usando le proprietà descritte sopra possiamo già calcolare i gruppi di omotopia di alcuni spazi semplici. Consideriamo solo spazi connessi per archi, per i quali
* Qualsiasi spazio [[omotopia|contrattile]] ha tutti i gruppi di omotopia banali: quindi ad esempio la [[retta]], il [[Piano (geometria)|piano]], e più in generale '''R'''''<sup>n</sup>''.
* Usando i rivestimenti si dimostra che la [[circonferenza]] ha
* In generale, uno spazio rivestito da uno spazio contrattile (ad esempio '''R'''''<sup>n</sup>'') ha i gruppi di omotopia per ''n''>1 tutti banali. Quindi ad esempio il [[toro]], la [[bottiglia di Klein]].
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Più difficile è calcolare i gruppi di omotopia delle [[sfera|sfere]], perché non sono contrattili: in molti casi ancora non si conoscono! Mancano infatti per ''n''>1 degli strumenti fondamentali quali il [[Teorema di Van Kampen]], che funziona solo per il gruppo fondamentale. I gruppi di omotopia di ordine superiore sono generalmente più difficili da calcolare, benché siano abeliani.
Inoltre in molti casi questi gruppi si comportano in modo poco intuitivo, non rispondendo all'esigenza originaria di "contare i buchi ''n''-dimensionali". Ad esempio, quanto segue mostra che
==La successione esatta lunga di una fibrato==
Uno dei pochi strumenti a disposizione per calcolare i gruppi di omotopia è il seguente: se ''p'' : ''E''
:'''…''' → π<sub>''n''</sub>(''F'') → π<sub>''n''</sub>(''E'') → π<sub>''n''</sub>(''B'') → π<sub>''n''−1</sub>(''F'') → '''…''' → π<sub>0</sub>(''E'') → π<sub>0</sub>(''B'') → 0
Le mappe sui
Un esempio in cui si applica la successione è la [[fibrazione di Hopf]]: Sia ''B'' = ''S''<sup>2</sup> ed ''E'' = S<sup>3</sup>. Sia ''p'' la [[fibrazione di Hopf]], avente fibra S<sup>1</sup>. Dalla successione esatta lunga otteniamo:
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:'''…''' → π<sub>''n''</sub>(''S''<sup>1</sup>) → π<sub>''n''</sub>(''S''<sup>3</sup>) → π<sub>''n''</sub>(''S''<sup>2</sup>) → π<sub>''n''−1</sub>(''S''<sup>1</sup>) → '''…'''
ed il fatto che
== Voci correlate ==
* [[gruppo fondamentale]]
* [[rivestimento]]
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Topologia algebrica]]
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