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Riga 2: [[Immagine:Cayley graph of F2.svg\|right\|thumb\|[[Grafo di Cayley]] del gruppo libero su due generatori, ''a'' e ''b''.]] In [[teoria dei gruppi]], un [[gruppo (matematica)\|gruppo]] ''G'' si dice '''libero''' se esiste un [[sottoinsieme]] ''S'' di ''G'' tale che è possibile scrivere ogni elemento di ''G'' come prodotto di un numero finito di elementi di ''S'' e dei suoi inversi in modo unico (tralasciando le variazione banali come ''st<sup>-1−1</sup>'' = ''su<sup>-1−1</sup>ut<sup>-1−1</sup>'').▼ ▲In [[teoria dei gruppi]], un [[gruppo (matematica)\|gruppo]] ''G'' si dice '''libero''' se esiste un [[sottoinsieme]] ''S'' di ''G'' tale che è possibile scrivere ogni elemento di ''G'' come prodotto di un numero finito di elementi di ''S'' e dei suoi inversi in modo unico (tralasciando le variazione banali come ''st<sup>-1</sup>'' = ''su<sup>-1</sup>ut<sup>-1</sup>''). Un concetto collegato ma distinto è quello di [[gruppo abeliano libero]]. Line 19 ⟶ 18: == Costruzione == Sia ''S'' un insieme. Il gruppo libero su ''S'' si indica con F(''S'') e può essere costruito nel modo seguente. Per ogni ''s'' ~~∈~~∈ ''S'' si prende il nuovo simbolo ''s''<sup>-1−1</sup> (detto ''inverso di s'') e si dice che non appartiene ad ''S''. Si costruisce quindi l'insieme di tutte le concatenazioni finite formate dai simboli di ''S'' o dai loro inversi. Si considerano due catene equivalenti se è possibile passare dall'una all'altra inserendo o eliminando un numero finito di simboli della forma ''ss<sup>-1−1</sup>'' o ''s<sup>-1−1</sup>s''. Questa è una relazione di equivalenza; il suo [[insieme quoziente\|quoziente]] è F(''S''). L'operazione di gruppo è data dalla concatenazione. La relazione di equivalenza definita è compatibile con la concatenazione, e F(''S'') risulta essere effettivamente un gruppo con questa operazione. Se ''S'' è l'[[insieme vuoto]], F(''S'') è il gruppo banale, che contiene solo la catena vuota. Line 27 ⟶ 26: Un altro modo di definire i gruppi liberi, equivalente al precedente, è il seguente. Si consideri una coppia (''F'', ''i'') dove ''F'' è un gruppo e ''i'': ''S'' ~~→~~→ ''F'' è una funzione. Si dice che ''F'' è un '''gruppo libero su ''S'' rispetto ad ''i''''' se per ogni gruppo e per ogni funzione ''f'': ''S'' ~~→~~→ ''G'' esiste unico un [[omomorfismo]] ~~φ~~φ: ''F'' ~~→~~→ ''G'' tale che: :<math>\varphi(i(s))=f(s) \quad \forall s\in S</math> Da questa definizione si deduce immediatamente che se (''F''<sub>1</sub>, ''i''<sub>1</sub>) e (''F''<sub>2</sub>, ''i''<sub>2</sub>) sono due gruppi liberi su ''S'', allora esiste unico un [[isomorfismo]] ~~φ~~φ: ''F''<sub>1</sub> ~~→~~→ ''F''<sub>2</sub> tale che: :<math>\varphi(i_1(s))=i_2(s) \quad \forall s\in S</math>

Gruppo libero: differenze tra le versioni