Prodotto di Kronecker: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
+ Wikificare |
Ampliato dall'inglese |
||
Riga 1:
==Definizione==
Sia A una matrice
Esplicitando ogni termine:
Notare che questo prodotto '''non''' è un'estensione della sopra citata moltiplicazione "righe per colonne", in quanto la moltiplicazione tra una matrice 3×2 e una 2×3 produce una matrice 6×6, e non una 3×3.
<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\ 1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\ 3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\ 3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}
</math>
==Proprietà==
[[Categoria:Matematica]]▼
===Bilinearità e associatività===
Il prodotto di Kronecker è un caso speciale di [[calcolo tensoriale|prodotto tensoriale]], dunque è [[Forma bilineare|bilineare]] e [[associatività|associativo]]:
:<math> A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C \qquad </math> (se B e C hanno la stessa dimensione)
:<math> (A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C \qquad </math> (se B e C hanno la stessa dimensione)
:<math> (kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B), </math> (k scalare)
:<math> (A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C), </math>
Questo prodotto non è commutativo, tuttavia A <math>\otimes</math> B e B<math>\otimes</math> A sono equivalenti per permutazione, cioè esistono [[Matrice permutativa|matrici di permutazione]] P e Q tali che <math> A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q </math>.
Se A e B sono [[matrice quadrata|quadrate]], allora sono [[matrici simili|simili]] per permutazione, cioè vale che P = Q<sup>T</sup>
===Prodotto misto===
Se A, B, C e D sono matrici tali che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e tra B e D, allora vale che
:<math> (A \otimes B)(C \otimes D) = (A \cdot C) \otimes (B \cdot D) </math>.
Ne segue che <math>(A \otimes B)</math> è [[matrice invertibile|invertibile]] [[se e solo se]] lo sono A e B e l'inversa è data da <math> (A \otimes B)^{-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}. </math>
===Spettro===
Siano A e B quadrate di ordine n e q rispettivamente e siano λ<sub>1</sub>, ..., λ<sub>''n''</sub> gli [[Autovettore e autovalore|autovalori]] di A, μ<sub>1</sub>, ..., μ<sub>''q''</sub> quelli di B. Allora gli autovalori di <math>A \otimes B</math> sono
:<math> \lambda_i \mu_j, \qquad i=1,\ldots,n ,\, j=1,\ldots,q. </math>
Ne segue che la [[traccia (matrice)|traccia]] è <math>\operatorname{tr}(A \otimes B) = \operatorname{tr} A \cdot \operatorname{tr} B </math> e che il [[determinante]] è <math>\det(A \otimes B) = (\det A)^q \cdot (\det B)^n</math>.
==Valori singolari==
Siano A e B matrici rettangolari con [[Decomposizione ai valori singolari|valori singolari]] non nulli, rispettivamente <math> \sigma_{A,i} </math>, i=1,..,''r''<sub>A</sub> e <math> \sigma_{B,j} </math>, j=1,..,''r''<sub>B</sub>.
Allora il prodotto <math>A \otimes B</math> ha ''r''<sub>A</sub>''r''<sub>B</sub> valori singolari che sono esattamente <math> \sigma_{A,i} \cdot \sigma_{B,j}</math>, i=1,..,''r''<sub>A</sub>, j=1,..,''r''<sub>B</sub>.
Dal momento che il [[Rango (algebra lineare)|rango di una matrice]] è uguale al numero di valori singolari non nulli, allora è <math> \operatorname{rank}(A \otimes B) = \operatorname{rank} A \cdot \operatorname{rank} B </math>.
==Relazioni col prodotto tensoriale astratto==
Il prodotto di Kronecker tra matrici corrisponde al prodotto tensoriale astratto di mappe lineari. Specificatamente, se le matrici A e B rappresentano le trasformazioni lineari V<sub>1</sub> → W<sub>1</sub> e V<sub>2</sub> → W<sub>2</sub>, allora la matrice <math>A \otimes B</math> rappresenta il prodotto tensoriale tra la due mappe V<sub>1</sub> <math>\otimes</math> V<sub>2</sub> → W<sub>1</sub> <math>\otimes</math> W<sub>2</sub>.
==Equazioni matriciali==
Il prodotto di Kronecker può essere usato per la rappresentazione di alcune equazioni matriciali. Si consideri ad esempio l'equazione ''AXB=C'', dove A,B e C sono matrici date e X è incognita. Possiamo riscrivere tale equazione come
:<math> (B^\top \otimes A) \, \operatorname{vec} X = \operatorname{vec} C</math>
dove se X è di ordine m×n, ''vec(X)'' denota il vettore di dimensione m×n formato dalle entrate di X scritte ordinatamente per colonna, cioè
:<math> \operatorname{vec} X = [ x_{11}, x_{21}, \ldots, x_{m1}, x_{12}, x_{22}, \ldots, x_{m2}, \ldots, x_{1n}, x_{2n}, \ldots, x_{mn} ]^\top. </math>.
Dalle proprietà enunciate finora, ne viene che l'equazione ''AXB=C'' ha un'unica soluzione se e e solo se A e B sono non singolari.
==Storia==
Il prodotto di Kronecker prende il nome da [[Leopold Kronecker]], ma ci sono poche prove che Kronecker sia stato il primo a definirlo e usarlo. In effetti, in passato è anche stato usato col nome di ''matrice di Zehfuss'', da [[Johann Georg Zehfuss]].
==Collegamenti esterni==
*[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4163 Kronecker Product] su PlanetMath
*[http://mathworld.wolfram.com/MatrixDirectProduct.html Matrix Direct Product] su [[MathWorld]]
[[pl:Iloczyn Kroneckera]]
[[de:Kronecker-Produkt]]
[[en:Kronecker product]]
| |||