Quasi ovunque: differenze tra le versioni

*In [[teoria ergodica]], il [[teorema di Birkhoff]] stabilisce la veridicità di alcune proprietà per ''quasi tutti'' i punti di un [[sistema dinamico conservativo]]. Questo risultato, molto generale ma non costruttivo, è stato oggetto delle osservazioni di molti famosi matematici, come ad esempio [[Aleksandr Yakovlevich Khinchin]], volte a ridimensionare il valore dei risultati validi ''quasi ovunque'' in questo ambito. Ad esempio, tali risultati in genere stabiliscono che una data proprietà è valida al di fuori di un certo insieme nullo, ma tuttavia -fissato un determinato punto- non sarà possibile decidere se esso appartenga o meno a detto insieme nullo. Ne segue che, quando siano necessari dei calcoli espliciti, come per l'[[analisi numerica]], i risultati validi ''quasi ovunque'' (e non ovunque) hanno un valore poco fruibile. Facciamo un esempio concreto; supponiamo di avere una [[successione (matematica)|successione]] di funzioni reali <math>\{f_n\}</math> di funzioni reali (e con valori calcolabili ''espicitamente'') definite sull'intervallo <math>[0,1]</math> i cui valori siano calcolabili espicitamente, e; supponiamo di sapere che esse convergano ''quasi ovunque'' ad una costante <math>c</math>, di cui ci interessa sapere il valore numerico. Un approccio ''ingenuo'' è il seguente: fissiamo un punto <math>x_0 \in [0,1]</math>, e, -con l'ausilio di un [[computer|calcolatore]], calcoliamo i valori della successione <math>f_n(x_0)</math>. Ci aspettiamo che essi convergano a <math>c</math>, e quindi ne forniscano un'approssimazione. Ciò naturalmente è falso, dal momento che <math>x_0</math> potrebbe ben appartenere all'insieme di misura nulla su cui la proprietà di convergenza a <math>c</math> non è verificata. Per esempio, dal momento che un calcolatore potrà lavorare solamente con [[numeri razionali]] (i quali hanno misura di Lebesgue nulla), è addirittura possibile ottenere un risultato errato qualunque sia il valore di <math>x_0</math> con cui costruiamo la successione <math>f_n(x_0)</math>. In questo semplice caso, il problema è facilmente risolvibile se facciamo delle ulteriori ipotesi, come quella di integrabilità delle funzioni <math>f_n</math>. In questo caso,Infatti la successione numerica <math>\int_{[0,1]} f_n(x)\,dx</math> convergerà alla costante <math>c</math> cercata (si noti tuttavia che in generale ciò richiederà uno sforzo molto maggiore del calcolo della successione <math>f_n(x_0)</math>).