Spazio di misura: differenze tra le versioni
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Evidentemente, se <math>(X,\mathfrak{F},\mu)</math> è completo, esso coincide col suo completamento. In generale è possibile costruire in maniera esplicita il completamento di uno spazio non completo. Ne illustriamo qui la procedura.
Consideriamo l'insieme <math>\mathfrak{N}</math> di tutti gli insiemi contenuti in insiemi nulli (tali insiemi sono talvolta detti [[insieme trascurabile|trascurabili]]). Sia <math>\mathfrak{F}^\prime=\sigma\left(\mathfrak{N}\bigcup\mathfrak{F}\right)</math> la più piccola σ-algebra contenente sia gli elementi di <math>\mathfrak{F}</math> che quelli di <math>\mathfrak{N}</math><ref>Si veda la sezione [[Sigma-algebra#Principali risultai|Principali risultati]] della voce ''σ-algebra'' per approfondire la nozione di σ-algebra generata da una famiglia di insiemi.</ref>. Poichè l'unione e l'intersezione numerabili di insiemi trascurabili è trascurabile, si vede facilmente che ogni elemento <math>E^\prime</math> di <math>\mathfrak{F}^\prime</math> può essere ottenuto da un elemento <math>E</math> di <math>\mathfrak{F}</math> unendovi o sottraendovi un insieme trascurabile. Sarà allora sufficiente estendere <math>\mu</math> ad una nuova misura su <math>(X,\mathfrak{F}^\prime)</math> semplicemente ponendo <math>\mu^\prime(E^\prime):=\mu(e)</math>.
Un caso notevole, è quello dello spazio di misura di Lebesgue (il secondo esempio sopra), che è il completamento dello spazio di Borel (il primo esempio sopra).
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