Estensione algebrica: differenze tra le versioni
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Una estensione di campo non algebrica è detta '''trascendente'''. Un elemento di ''L'' che non è radice di nessun polinomio a coefficienti in ''K'' è anch'esso detto ''trascendente''.
== Definizioni ==
Sia ''K'' un [[campo (matematica)|campo]]. Una [[campo#Sottocampo e estensione di campo|estensione]] è il dato di un altro campo ''L'' e di un [[omomorfismo di anelli|omomorfismo]] [[funzione iniettiva|iniettivo]] di ''K'' in ''L''. Tramite l'omomorfismo, ''K'' può essere visto come un [[sottocampo]] di ''L''. L'estensione è generalmente indicata con la notazione ''L''/''K''.
Un elemento ''a'' di ''L'' è '''algebrico''' su ''K'' se esiste un polinomio ''p'' a coefficienti in ''K'' tale che
Se ''L'' è visto come uno [[spazio vettoriale]] su ''K'', si può considerare la sua [[dimensione di uno spazio vettoriale|dimensione]]. Questa dimensione è chiamata anche '''grado''' dell'estensione. L'estensione ''L/K'' può essere ulteriormente classificata come '''finita''' o '''infinita''' a seconda della sua dimensione. Tutte le estensioni trascendenti sono di grado infinito. Questo implica immediatemente che tutte le estensioni finite sono algebriche.▼
:<math> p(a) = 0. </math>
Un elemento non algebrico su ''K'' è detto '''trascendente'''.
Se tutti gli elementi di ''L'' sono algebrici su ''K'', l'estensione ''L''/''K'' è detta '''algebrica'''. Altrimenti è '''trascendente'''.
L'inverso non è tuttavia vero: esistono estensioni algebriche infinite . Ad esempio, il campo di tutti i [[numero algebrico|numeri algebrici]] è un'estensione algebrica infinita dei numeri razionali.▼
== Esempi ==
Se ''a'' è algebrico su ''K'', allora ''K''[''a''], cioè l'insieme di tutti i polinomi in ''a'' con coefficienti in ''K'', è un campo; in particolare è un'estensione di campo algebrica di ''K'' di grado finito su ''K''. Nel caso particolare in cui ''K'' = '''Q''' è il [[numero razionale|campo dei numeri razionali]], '''Q'''[''a''] è un esempio di [[campo numerico algebrico]].▼
Siano '''Q''', '''R''' e '''C''' rispettivamente i campi dei [[numeri razionali]], [[numeri reali|reali]] e [[numeri complessi|complessi]].
* L'estensione '''R'''/'''Q''' è trascendente, perché [[pi greco|π]] non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.
Un campo non dotato di estensione algebrica propria è detto [[campo algebricamente chiuso|algebricamente chiuso]]. Un esempio è il campo dei [[numero complesso|numeri complessi]].▼
* L'estensione '''C'''/'''R''' è algebrica, perché ogni numero complesso ''a'' è radice di un polinomio a coefficienti reali, ad esempio
Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (detta la sua [[chiusura algebrica]]), ma dimostrare questo nel caso generale richiede una delle forme dell'[[assioma della scelta]].▼
::<math> p(x) = (x-a)(x-\bar a) </math>
* Consideriamo il sottocampo '''Q'''(√2) di '''C''' generato da '''Q''' e √2. L'estensione '''Q'''(√2)/'''Q''' è algebrica, perché √2 è radice del polinomio a coefficienti complessi
::<math> p(x) = x^2 - 2 </math>
== Ulteriori definizioni e proprietà ==
==Generalizzazioni==▼
=== Grado ===
▲Se ''L'' è visto come uno [[spazio vettoriale]] su ''K'', si può considerare la sua [[dimensione di uno spazio vettoriale|dimensione]]. Questa dimensione è
* Tutte le estensioni trascendenti sono di grado infinito. Questo implica immediatamente che tutte le estensioni finite sono algebriche.
▲* L'inverso non è tuttavia vero: esistono estensioni algebriche infinite
▲* Se ''a'' è algebrico su ''K'', allora ''K''[''a''], cioè l'insieme di tutti i polinomi in ''a'' con coefficienti in ''K'', è un campo; in particolare è un'estensione di campo algebrica di ''K'' di grado finito su ''K''. Il grado è pari al grado del più piccolo polinomio ''p'' di cui ''a'' è radice. Nel caso particolare in cui ''K'' = '''Q''' è il [[numero razionale|campo dei numeri razionali]], '''Q'''[''a''] è un esempio di [[campo numerico algebrico]].
=== Campi algebricamente chiusi ===
▲Un campo che non
▲Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (
▲==Generalizzazioni==
La [[teoria dei modelli]] generalizza la nozione di estensione algebrica a teorie arbitrarie: un'immersione di M in N è detta '''estensione algebrica''' se per ogni ''x'' in N esiste una formula ''p'' a parametri in M, tale che
''p''(''x'') è vera e l'insieme
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:{''y'' in ''N'' | ''p''(''y'')}
è finito.
== Voci correlate ==
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