Spazio di misura: differenze tra le versioni
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Dato uno spazio misurabile <math>(X,\mathfrak{F})</math>, e due misure <math>\mu, \nu</math> su di esso, <math>\nu</math> si dice '''[[misura assolutamente continua|assolutamente continua]]''' rispetto a <math>\mu</math> se ogni insieme <math>E\in \mathfrak{F}</math> che ha [[Insieme di misura nulla|misura nulla]] rispetto a <math>\mu</math> ha misura nulla anche rispetto a <math>\nu</math>: <math>\mu(E)=0 \Rightarrow \nu(E)=0</math>
Due misure assolutamente continue l'una rispetto all'altra si dicono '''[[Misure equivalenti|equivalenti]]'''.
{{Matematica voce|Proposizione|Isomorfismi di spazi misurabili|Siano <math> (X,\mathfrak{F}, \mu)</math> e <math> (X,\mathfrak{F}, \nu)</math> due spazi di misura σ-finiti costruiti sopra il medesimo spazio misurabile <math>(X,\mathfrak{F})</math>. Se <math> \mu,\, \nu</math> sono equivalenti, allora i due spazi sono isomorfi.▼
===Isomorfismi di spazi misurabili===
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==Applicazioni==
{{Vedi anche|Teoria della misura|Sistema dinamico conservativo}}▼
*Naturalmente, l'applicazione più naturale della nozione di spazio di misura si ha proprio nella teoria della misura, in quanto essa costituisce un oggetto fondamentale di tale teoria.
*Se <math>(X,\mathfrak{F})</math> è uno spazio misurabile ed <math>S</math> un [[semigruppo]], un'azione misurabile di <math>S</math> su <math>X</math> è una famiglia (indicizzata dal parametro <math>s\in S</math>) di mappe misurabili <math>T_s:X \mapsto X</math> tali che <math>T_s\circ T_t=T_{st}</math> per ogni <math>s,t \in S</math>. Un [[sistema dinamico conservativo]] è una quadrupla <math>(X,\mathfrak{F},\mu, S)</math>, dove <math>(X,\mathfrak{F},\mu)</math> è uno spazio di misura, e <math>T</math> è un'azione misurabile di un semigruppo <math>S</math> su <math>X</math>, che ''conserva'' la misura: <math>\mu\left(T_s^{-1}(E)\right)=\mu(E)</math> per ogni <math>E\in \mathfrak{F},\,s\in S</math>. La teoria dei sistemi dinamici conservativi è -nonostante la sua generalità- molto ricca. Da essa si possono ad esempio derivare con semplicità e generalità molte delle proprietà della [[meccanica classica]]. Infatti, i [[Meccanica hamiltoniana|sistemi hamiltoniani]] rientrano nella classe dei sistemi dinamici conservativi.
▲{{Vedi anche|Sistema dinamico conservativo}}
==Voci correlate==
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