Criterio di Weierstrass: differenze tra le versioni

In [[analisi matematica]], il '''Criterio di Weierstrass''', conosciuto anche come '''M-test''', è un importante risultato riguardante la [[convergenza uniforme]] di serie di funzioni di variabile complessa o reale:

 

Sia <math> f_n:A\subseteq\C \to \C </math> una successione di funzioni a valori complessi.

Se <math>\forall n\in\N \ \exists M_n\ge 0 \ </math> tale che <math>|f_n(z)|\leq M_n \ \forall z\in A\ </math> e si ha <math>\sum_{n=1}^{+\infty} M_n<+\infty </math> allora

la serie <math>\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(z)</math> converge uniformemente e assolutamente.

 

Sia <math>S_n(z)=\sum_{k=1}^{n} f_k(z)</math> . Presi <math>n,m\in\N,m>n,</math> date le ipotesi del teorema si ha:

 

 

La serie a termini non-negativi <math>\sum_{k=1}^{+\infty}M_k</math> converge, quindi <math>\forall \epsilon>0 \exist\ n_0\ tale\ che\ \forall n>n_0 \sum_{k=n}^{k=+\infty}M_k<\epsilon</math>. Scegliendo n,m sufficientemente grandi si ha quindi

 

 

Per ogni z la successione <math>S_n(z)</math> è di [[successione di Cauchy|Cauchy]] nello [[spazio metrico completo]] <math>\C</math>, pertanto converge a <math>l_z</math>. Definiamo la funzione <math>S(z)=l_z</math>. Facendo tendere m a <math>+\infty</math> nella precedente relazione si ha

 

 

ovvero <math>S_n(z)=\sum_{k=1}^{n} f_k(z)</math> converge uniformemente a <math>S(z)</math>.