Disuguaglianza di Sobolev: differenze tra le versioni
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:<math> p^*=\frac{pn}{n-p}>p</math>
è il numero chiamato ''coniugato di Sobolev'' di ''p''.
=== Costanti ottimali===
Nella disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev può essere interessante conoscere i valori delle costanti ottimali: cioè le costanti più piccole che verificano la disuguaglianza; e inoltre riuscire a trovare delle funzioni che verificano l'
Sia <math>1<p<n</math>, allora vale
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con opportuni <math>a,b</math> positivi.
Nel teorema compare la [[funzione gamma]]. Vediamo che le funzioni che realizzano l'
Il caso <math>p=1</math> invece è un
Vediamo che in generale possiamo trovare la costante ottimale per l'immersione di <math>W^{1,1}</math> in <math>L^{\frac{n}{n-1}}</math>.
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Vale infatti il seguente teorema: sia <math>u \in W^{1,1}</math>, allora
:<math>\|u\|_{L^{1^*}}\leqslant n^{-1}\omega_n^{-1}\|D u\|_{L^1}</math>
Inoltre non esistono funzioni che realizzano l'
Osserviamo che la costante che compare nel teorema è proprio la stessa che compare nella [[disuguaglianza isoperimetrica]].
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:<math>\|u\|_{C^{0,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(U)}</math>
dove la costante ''C'' dipende da ''n'', ''p'' e ''U''.
Questa versione della disuguaglianza segue dalla
== Disuguaglianze generali di Sobolev ==
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*[[Riordinamento radiale]]
*[[Disuguaglianza di Polya-Szego]]
[[Categoria:Spazi di Sobolev]]
[[Categoria:Disuguaglianze|Sobolev]]
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