Disuguaglianza di Sobolev: differenze tra le versioni

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:<math> p^*=\frac{pn}{n-p}>p</math>
è il numero chiamato ''coniugato di Sobolev'' di ''p''.
 
=== Costanti ottimali===
Nella disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev può essere interessante conoscere i valori delle costanti ottimali: cioè le costanti più piccole che verificano la disuguaglianza; e inoltre riuscire a trovare delle funzioni che verificano l'ugualianzauguaglianza. Riportiamo allora due risultati riferendoci all'articolo del Talenti ''Best Costant in Sobolev Inequality'' indicato in bibliografia.
 
Sia <math>1<p<n</math>, allora vale
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con opportuni <math>a,b</math> positivi.
 
Nel teorema compare la [[funzione gamma]]. Vediamo che le funzioni che realizzano l'ugualianzauguaglianza sono a [[simmetria radiale]] in accordo con la [[disuguaglianza di Polya-Szego]]. Infatti se vogliamo cercare di diminuire la [[norma (matematica)|norma]] del [[gradiente]] di una funzione, possiamo considerare il suo [[riordinamento radiale]].
Il caso <math>p=1</math> invece è un po' differente. In questo caso <math>1^*=\frac{n}{n-1}.</math>
 
Vediamo che in generale possiamo trovare la costante ottimale per l'immersione di <math>W^{1,1}</math> in <math>L^{\frac{n}{n-1}}</math>.
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Vale infatti il seguente teorema: sia <math>u \in W^{1,1}</math>, allora
:<math>\|u\|_{L^{1^*}}\leqslant n^{-1}\omega_n^{-1}\|D u\|_{L^1}</math>
Inoltre non esistono funzioni che realizzano l'ugualianzauguaglianza.
 
Osserviamo che la costante che compare nel teorema è proprio la stessa che compare nella [[disuguaglianza isoperimetrica]].
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:<math>\|u\|_{C^{0,\gamma}(U)}\leq C \|u\|_{W^{1,p}(U)}</math>
dove la costante ''C'' dipende da ''n'', ''p'' e ''U''.
Questa versione della disuguaglianza segue dalla prededenteprecedente attraverso un'estensione (che conserva la norma) di ''u'' da ''W''<sup>1,''p''</sup>(''U'') a ''W''<sup>1,''p''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>).
 
== Disuguaglianze generali di Sobolev ==
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*[[Riordinamento radiale]]
*[[Disuguaglianza di Polya-Szego]]
 
[[Categoria:Spazi di Sobolev]]
[[Categoria:Disuguaglianze|Sobolev]]