Teoria ingenua degli insiemi: differenze tra le versioni

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Se ''x'' è un elemento di ''A'', allora si dice anche che ''x'' '''appartiene a''' ''A'', o che ''x'' è in ''A''. In questo caso, scriviamo ''x'' ∈ ''A''.
(Il simbolo "<math>\in</math>" ha origine dalla [[alfabeto greco|lettera greca]] [[epsilon (lettera)|epsilon]], "&epsilon;", introdotta da [[Giuseppe Peano|Peano]] nel [[1888]].)
Il simbolo <math>\notin</math> è talvolta usato per scrivere ''x''&nbsp;∉&nbsp;''A'', oppure "x non è in A".
 
Dato un insieme universo '''U''' e un sottoinsieme ''A'' di '''U''', possiamo definire il '''[[Insieme complemento#Complemento assoluto|complemento]]''' di ''A'' (in '''U''') come
:''A''<sup>C</sup>&nbsp;:= {''x''&nbsp;&isin;&nbsp;'''U'''&nbsp;: &not;(''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''A'')},
dove ¬ è l'operatore di [[negazione logica (simbolo)|negazione]]. In altre parole, ''A''<sup>C</sup> (talvolta semplicemente ''A''' ) è l'insieme di tutti gli elementi di '''U''' che non sono elementi di ''A''.
Quindi, con gli ''A'', ''B'' e ''C'' definiti nella sezione dei sottoinsiemi, se ''B'' è l'insieme universo, allora ''C' '' è l'insieme degli interi pari, mentre se ''A'' è l'insieme universo, allora ''C' '' è l'insieme di tutti i numeri reali che sono o interi pari o che non sono interi.
 
:''A''&nbsp;&cup;&nbsp;B&nbsp;:= {''x''&nbsp;: (''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''A'')&nbsp;[[disgiunzione inclusiva|or]] (''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''B'')};
:''A''&nbsp;&cap;&nbsp;''B''&nbsp;:= {''x''&nbsp;: (''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''A'')&nbsp;[[congiunzione logica|and]] (''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''B'')}&nbsp;= {''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''A''&nbsp;: ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''B''}&nbsp;= {''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''B''&nbsp;: ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''A''};
:''A''&nbsp;\&nbsp;''B''&nbsp;:= {''x''&nbsp;: (''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''A'')&nbsp;and&nbsp;[[negazione logica (simbolo)|not]] (''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''B'') }&nbsp;= {''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''A''&nbsp;: not (''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''B'')}.
 
Osserva che ''A'' non deve essere un sottoinsieme di ''B'' perché ''B''&nbsp;\&nbsp;''A'' abbia senso; questa è la differenza fra il complemento relativo e il complemento assoluto descritto nella precedente sezione.
Alternativamente, una coppia ordinata può essere formalmente pensata come un insieme {a,b} dotato di un [[ordine totale]].
 
(La notazione (a, b) è usata anche per indicare un [[intervallo (matematica)|intervallo]] [[aperto]] sulla [[retta]] reale, ma il contesto dovrebbe rendere chiaro quale è il significato inteso.)
 
Se ''A'' e ''B'' sono insiemi, allora il '''[[prodotto cartesiano]]''' (o semplicemente '''prodotto''') è definito come:
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