Disuguaglianza di Sobolev: differenze tra le versioni
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== Il teorema di immersione di Sobolev ==
Si denoti con <math>W^{k,p}</math> lo spazio di Sobolev di una [[varietà riemanniana]] compatta di dimensione ''n'', spazio che, detto in breve, è costituito da funzioni le cui prime ''k'' derivate sono in ''L''<sup>''p''</sup>.
In questo contesto ''k'' può essere un qualsiasi numero reale e 1≤''p''≤∞. (Per ''p''=∞ lo spazio di Sobolev è definito come lo [[spazio di Hölder]] ''C''<sup>''m'',α</sup>, dove ''k''=''m''+
''k''≥ l e ''k''−''n''/''p''
:<math>W^{k,p}\subseteq W^{l,q}</math>
e questa inclusione è continua. Inoltre se ''k''> ''l'' e ''k''−''n''/''p'' > ''l''−''n''/''q''
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Nel teorema compare la [[funzione gamma]]. Vediamo che le funzioni che realizzano l'uguaglianza sono a [[simmetria radiale]] in accordo con la [[disuguaglianza di Polya-Szego]]. Infatti se vogliamo cercare di diminuire la [[norma (matematica)|norma]] del [[gradiente]] di una funzione, possiamo considerare il suo [[riordinamento radiale]].
Il caso <math>p=1</math> invece è un
Vediamo che in generale possiamo trovare la costante ottimale per l'immersione di <math>W^{1,1}</math> in <math>L^{\frac{n}{n-1}}</math>.
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per ogni <math>u\in C^1 (R^n)</math>, dove
:<math>\gamma:=1-n/p</math>
In altre parole: se <math>u\in W^{1,p}(R^n)</math> allora ''u'' è [[
Un risultato analogo vale in un dominio limitato ''U'' con bordo ''C''<sup>1</sup>; in questo caso vale:
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*[[Riordinamento radiale]]
*[[Disuguaglianza di Polya-Szego]]
==Bibliografia==▼
* G.Talenti, ''Best Costant in Sobolev Inequality'', Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.
[[Categoria:Spazi di Sobolev]]
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[[en:Sobolev inequality]]
▲==Bibliografia==
▲* G.Talenti, ''Best Costant in Sobolev Inequality'', Annali di Matematica Pura e Applicata, volume 110 (1976), pp.353-376.
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