Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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* (P3) dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]]; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math> e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;
* (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compiere un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.
* (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]: quello che ci dice è che l'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.
 
== Unicità del modello a meno di isomorfismi ==