Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer: differenze tra le versioni
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== Introduzione matematica ==
Nel 1922 [[Louis Mordell]] ha dimostrato il [[teorema di Mordell]], che afferma che il [[gruppo (matematica)|gruppo]] di punti razionali su una [[curva ellittica]] ha una base finita. Questo significa che per ogni curva ellittica vi è un [[sottogruppo]] finito di punti razionali sulla curva, da cui tutti i successivi punti razionali possono essere generati. Se il numero di punti razionali su una curva è [[infinito (matematica)|infinito]], allora un certo punto di una base finita deve avere ordine infinito.
Il numero di punti con base indipendente è chiamato grado della curva, ed è una importante proprietà di invarianza di una curva ellittica.
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La Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer è stata dimostrata solo in alcuni casi particolari:
# Nel 1976 [[John Coates]] e [[Andrew Wiles]] hanno dimostrato che, se E è una curva su un campo numerico F con la moltiplicazione complessa da un campo immaginario quadratrico di classe 1, F=K o Q, e L(E,1) è diverso da 0, allora E ha solo un numero finito di punti razionali. Questa è stata estesa al caso in cui F sia una qualche estensione abeliana finita di K da [[Nicole Arthaud-Kuhman]], che ha condiviso l'ufficio con Wiles, quando erano entrambi studenti di Coates a [[Stanford University|Stanford]].
# Nel 1983 Benedict Gross e [[Don Zagier]] hanno dimostrato che se una [[curva ellittica modulare]] ha un primo-ordine zero in ''s'' = 1 allora ha un punto razionale di ordine infinito; vedere il [[teorema di Gross-Zagier]].
# Nel 1990 [[Victor Kolyvagin]] ha dimostrato che una curva ellittica modulare E per cui L(E, 1) non è pari ha zero ha grado 0, e una curva ellittica modulare E tale che L(E, 1) ha un primo-ordine zero in s = 1 ha [[rango]] 1.
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