Spazio euclideo: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], la nozione di '''spazio euclideo''' fornisce una generalizzazione degli spazi a due e a tre dimensioni studiati dalla [[geometria euclidea]]. Per ogni intero naturale ''n'' si dispone di uno spazio euclideo ad ''n'' dimensioni: questo si ottiene dallo spazio vettoriale ad ''n'' dimensioni arricchendolo con le nozioni che consentono di trattare le nozioni di [[distanza euclidea|distanza]], [[lunghezza]] e [[angolo]]. È l'esempio "standard" di [[spazio di Hilbert]] [[numero reale|reale]] a dimensione finita.
==Spazio
=== Definizione ===
Sia
di ''n'' numeri reali. Lo spazio di tutte le ''n''-uple di numeri reali forma uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] ''n'' su
:<math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)</math>
:<math>a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n)</math>
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=== Basi di spazi vettoriali ===
{{vedi anche|base (algebra lineare)}}
Una base dello spazio
:<math>\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0)</math>
:<math>\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1)</math>.
Un vettore arbitrario in
:<math>\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i</math>
Lo spazio
==Struttura euclidea==
Lo spazio euclideo è più che un semplice spazio vettoriale. Per ottenere la [[geometria euclidea]] si deve poter parlare di [[distanza (matematica)|distanze]] e [[angolo|angoli]], iniziando con la distanza fra due punti e l'angolo formato da due rette o da due vettori. Il modo intuitivo per fare questo è l'introduzione di quello che viene chiamato '''[[prodotto scalare]] standard''' su
:<math>\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.</math>
Lo spazio delle ''n''-uple di numeri reali arricchito con il prodotto scalare, funzione che a due ''n''-uple di reali '''x''' e '''y''' associa un numero reale, costituisce una struttura più ricca di
Il prodotto scalare permette di definire una "lunghezza" non negativa per ogni vettore ''x'' di '''E'''<sup>''n''</sup> nel seguente modo
:<math>\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}</math>
Questa funzione lunghezza soddisfa le proprietà richieste per una [[norma (geometria)|norma]] e viene chiamata '''norma euclidea''' o '''norma pitagorica''' su
:<math>\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)</math>
dove ''arccos'' è la funzione [[arcocoseno]].
Con queste definizioni la base canonica dello spazio vettoriale
A questo punto si può usare la norma per definire una funzione [[Distanza (matematica)|distanza]] (o metrica) su
:<math>d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.</math>
La forma di questa funzione distanza è basata sul [[teorema di Pitagora]], ed è chiamata '''[[Distanza euclidea|metrica euclidea]]'''.
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Ogni spazio euclideo quindi costituisce un esempio (a dimensione finita) di [[spazio di Hilbert]] (v. a. [[spazio prehilbertiano]]), di [[spazio normato]] e di [[spazio metrico]].
Va osservato che in molti contesti, lo spazio euclideo di ''n'' dimensioni viene denotato con
Osserviamo anche che ogni [[sottospazio vettoriale]] ''W'' di dimensione ''m'' (< ''n'') di '''E'''<sup>''n''</sup> è [[isometria|isometrico]] allo spazio euclideo '''E'''<sup>''m''</sup>, ma non in modo canonico: per stabilire una corrispondenza utilizzabile per dei calcoli è necessaria la scelta di una [[base ortonormale]] per ''W'' e questa, se in ''W'' non si trova alcun vettore della base canonica di '''E'''<sup>''n''</sup>, non può servirsi di alcun elemento di tale base.
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==Topologia euclidea==
Dal momento che lo spazio euclideo è uno [[spazio metrico]], lo si può considerare anche uno [[spazio topologico]] dotandolo della naturale topologia indotta dalla metrica. Questo può farsi definendo come base di insiemi aperti l'insieme delle palle aperte, insiemi dei punti che distano da un punto dato meno di un reale positivo fissato (raggio della palla). Mediante questi insiemi aperti si definiscono tutte le nozioni che servono alla topologia metrica su '''E'''<sup>''n''</sup>. Questa è detta '''topologia euclidea''' e si rivela equivalente alla [[topologia prodotto]] su
Con la "strumentazione" degli spazi vettoriali topologici gli spazi euclidei sono in grado da fornire gli ambienti nei quali sviluppare sistematicamente numerose nozioni dell'[[analisi matematica]], della [[geometria euclidea]], della [[geometria differenziale]] e della [[fisica matematica]] classica.
=== Invarianza dei domini ===
Un risultato importante per la topologia di
=== Varietà e strutture esotiche ===
Lo spazio euclideo è il prototipo di [[varietà topologica]], e anche di [[varietà differenziabile]]. I due concetti coincidono in generale, tranne in dimensione 4: come mostrato da [[Simon Donaldson]] e da altri, è possibile assegnare a
== Voci correlate ==
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