Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer: differenze tra le versioni

# Nel 1976 [[John Coates]] e [[Andrew Wiles]] hanno dimostrato che, se E è una curva su un campo numerico F con la moltiplicazione complessa da un campo immaginario quadratrico di classe 1, F=K o Q, e L(E,1) è diverso da 0, allora E ha solo un numero finito di punti razionali. Questa è stata estesa al caso in cui F sia una qualche estensione abeliana finita di K da [[Nicole Arthaud-Kuhman]], che ha condiviso l'ufficio con Wiles, quando erano entrambi studenti di Coates a [[Stanford University|Stanford]].

# Nel 1983 Benedict Gross e [[Don Zagier]] hanno dimostrato che se una [[curva ellittica modulare]] ha un primo-ordine zero in ''s'' = 1 allora ha un punto razionale di ordine infinito; vedere il [[teorema di Gross-Zagier]].

# Nel 1991 [[Karl Rubin]] ha mostrato che per le curve ellittiche definite su un campo quadratico immaginario K con moltiplicazione complessa per K, se la serie L della curva ellittica non era zero a s = 1, allora la p-esima parte del gruppo di Tate-Shafarevich aveva l'ordine previsto dalla congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, per tutti i primi p > 7.

# Nel 1999, Andrew Wiles, [[Christophe Breuil]], [[Brian Conrad]], [[Fred Diamond]] e [[Richard Taylor]] hanno dimostrato che tutte le curve ellittiche definite su numeri razionali sono modulari ([[teorema di Taniyama-Shimura]]), che si estende ai risultati 2 e 3 per tutte le curve ellittiche sui razionali.