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Riga 19: A tale reticolo si associa la relazione definita ponendo per due suoi generici elementi ''a'' e ''b'': :''a'' ≤ ''b'' ~~sse~~[[se e solo se]] <math>a = a\wedge b</math> . Se ''a'' e ''b'' sono elementi di un insieme totalmente ordinato dalla relazione ≤, allora si può definire la relazione binaria ''a'' < ''b'' chiedendo: ''a'' ≤ ''b'' e ''a'' ≠ ''b''. Questa relazione, come la ≤, è transitiva (''a'' < ''b'' e ''b'' < ''c'' implicano ''a'' < ''c'') ma, contrariamente a ≤, è [[relazione tricotomica\|tricotomica]], cioè tale che è vero uno e uno solo dei tre fatti ''a'' < ''b'', ''b'' < ''a'' e ''a'' = ''b''. Si può anche seguire il percorso costruttivo opposto, cioè partire da una relazione binaria transitiva tricotomica <, definire la relazione ''a'' ≤ ''b'' per esprimere la relazione "''a'' < ''b'' o ''a'' = ''b''" e dimostrare che ≤ è un ordine totale. Riga 29: * Le lettere dell'alfabeto inglese ordinate secondo l'ordine standard dei dizionari in lingue come inglese e italiano sono implicitamente ordinate: ''A'' < ''B'' < ''C'' ... . * L'[[ordine lessicografico]] sull'insieme delle [[prodotto cartesiano\|potenze cartesiane]] di un qualsiasi ordine totale o su ogni [[prodotto cartesiano]] di una qualsiasi sequenza di ordini totali. Tenuto conto del fatto che un alfabeto è implicitamente totalmente ordinato e che l'ordinamento totale si mantiene per poassaggio a sottoinsieme, si ricava che ogni insieme di parole munito dell'ordine alfabetico è un ordine totale. * Gli insiemi ordinati per inclusione (''A'' < ''B'' ~~sse~~se e solo se ''A'' è sottoinsieme di ''B'') costituiscono tipici esempi di insiemi non totalmente ordinati (né {1} < {2} né {2} < {1} ). Spesso tuttavia si individuano speciali collezioni di insiemi che risultano totalmente ordinati per inclusione. Ad esempio, se per ogni intero positivo ''n'' consideriamo gli insiemi dei primi n interi positivi scrivendo ''I''<sub>''n''</sub> := {1, …, ''n''}, allora la collezione di insiemi {''I''<sub>''n''</sub> \|: ''n'' positivo} è totalmente ordinata per inclusione. * Se ''X'' è un qualsiasi insieme ed ''f'' una [[biiezione]] da un [[segmento iniziale]] di interi positivi ordinati totalmente da < su ''X'', allora ''f'' induce un ordinamento totale su ''X'' se si stabilisce che ''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub> ~~sse~~se e solo se ''x''<sub>1</sub> = ''f''(''n''<sub>1</sub>) e ''x''<sub>2</sub> = ''f''(''n''<sub>2</sub>) e ''n''<sub>1</sub> < ''n''<sub>2</sub>. In effetti, più in generale ogni biiezione da un insieme totalmente ordinato induce un ordine totale nel suo codominio. <!-- This stuff needs to be cleaned up and moved to the Errata section. This section is not so much providing examples but proving interesting things about certain examples. Furthermore the notion of smallness at issue here needs to be explained and clarified. At the moment it can be read as either cardinality or the partial order induced by embeddings of total orders into each other. As only by defining smallness in terms of embeddings of partial orderings can we make the uniqueness claims true this section will require a bit more work before putting back up if at all. I will add some more appropriate examples.

Ordine totale: differenze tra le versioni