Algebra di Borel: differenze tra le versioni

Con queste definizioni, la σ-algebra di Borel è data da <math>\mathfrak{F}=\mathfrak{G}^m</math> dove <math>m</math> è il primo ordinale non numerabile. Infatti, in uno spazio metrico ogni aperto è l'unione dei chiusi in esso contenuti, da cui segue facilmente che <math>\mathfrak{G}^m</math> è una σ-algebra. La proprietà di minimalità di <math>\mathfrak{G}^m</math> (ossia il fatto che essa sia la più piccola σ-algebra contenente gli aperti) segue invece da un'osservazione più sottile. Infatti è possibile mostrare che per ogni insieme boreliano <math>B</math> esiste un ordinale ''numerabile'' <math>i</math> tale che <math>B \in \mathfrak{G}^i</math>. Tuttavia, al variare del boreliano <math>B</math> tale indice numerabile diviene arbitrariamente grande, ed approccia il primo ordinale non numerabile.

 

 

==Bibliografia==

}}

 

 

{{Portale|matematica}}