Teorema dei seni: differenze tra le versioni
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[[File: Driehoek-cosinusregel.png|thumb
In [[trigonometria]], il '''teorema dei seni''' esprime una relazione di [[proporzionalità]] diretta fra le [[Lunghezza|lunghezze]] dei lati di un [[triangolo]] e i [[Seno (trigonometria)|seni]] dei rispettivi [[Angolo|angoli]] opposti.
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:<math>c=\overline{AB},\gamma=B\hat CA</math>
Vale quindi
:<math>\frac a{\
dove ''R'' è il [[Raggio (geometria)|raggio]] del [[cerchio circoscritto]] al triangolo ''ABC'' e
:<math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>
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La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo:
:<math>a:b:c=\
== Applicazioni ==
[[File:triangle-with-a-b-beta-known.png|thumb
▲[[File:triangle-with-a-b-beta-known.png|thumb|left|Risoluzione di un triangolo con il teorema dei seni]]
Il teorema può essere adoperato
* per determinare il raggio del cerchio circoscritto:
:<math>R=\frac a{2 \
* per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo ed il lato opposto (vedere figura a lato):
:<math>\gamma=\
<br clear="all"/>
== Generalizzazione alle
{{vedi anche|geometrie non euclidee}}
[[File: Spherical_triangle_with_notations.png|thumb
Per una superficie non euclidea dalla curvatura ''K'', il ''raggio di curvatura'' ''ρ'' è
:<math>\rho=1/\sqrt{|K|}\,</math>.
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=== Geometria sferica ===
In un triangolo sferico ''ABC'' tracciato sulla [[sfera]] di [[Centro (geometria)|centro]] ''O'' e di raggio ''ρ'', il teorema del seno è espresso da
:<math>\frac{\
dove ''V<sub>OABC</sub>'' è il volume del [[tetraedro]] ''OABC''.
===
{{vedi anche|geometria iperbolica}}
In un [[triangolo iperbolico]], il teorema dei seni si esprime con
:<math>\frac{\
== Generalizzazione al tridimensionale ([[spazio euclideo|euclideo]])==
[[File:Tetrahedron_with_faces_and_dihedral_angles.png
▲[[File:Tetrahedron_with_faces_and_dihedral_angles.png|left|thumb|200px|Tetraedro: facce ed angoli diedri]]
Si consideri un tetraedro ''A''<sub>1</sub>''A''<sub>2</sub>''A''<sub>3</sub>''A''<sub>4</sub> nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce ed angoli del tetraedro:
* ''S<sub>k</sub>'' la faccia opposta al vertice ''A<sub>k</sub>'';
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* Δ<sub>''k''</sub> il [[Piano (geometria)|piano]] su cui giace ''S<sub>k</sub>'';
* ''θ<sub>ij</sub>'' l'[[angolo diedro]] <math>\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}</math>.
Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice ''A''<sub>1</sub> si definisce nel modo seguente:
:<math>\
E in modo analogo per gli altri angoli triedri.
Vale quindi
:<math>\frac{s_1}{\
dove ''V'' è il [[volume]] del tetraedro.
== Voci correlate ==
* [[Teorema della corda]]
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== Collegamenti esterni ==
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/LawofSines.html teorema dei seni]
{{trigonometria}}
{{Portale|matematica}}
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