Versione delle 14:03, 17 apr 2011 modifica 95.233.29.5 (discussione) →‎Generalizzazione di Gian-Carlo Rota ← Differenza precedente		Versione delle 21:48, 17 apr 2011 modifica annulla Salvatore Ingala (discussione \| contributi) Utenti autoverificati 15 793 modifiche m Annullate le modifiche di 95.233.29.5 (discussione), riportata alla versione precedente di Sandrobt Differenza successiva →
Riga 10: Chiaramente essa è una [[funzione aritmetica]] [[funzione moltiplicativa\|moltiplicativa]], cioè tale che :se h e k sono interi positivi coprimi, allora <math>\mu(h\cdot k) = \mu(h)\cdot\mu(k)~~x6=154478~~</math>. La funzione è stata introdotta da [[August Ferdinand Möbius]] nel [[1832]]; la notazione <math>\mu(n)</math> è stata introdotta da [[Franz Mertens]] nel [[1974]]. Riga 47: 1 \mathrm{~se~} n=1\\ 0 \mathrm{~se~} n>1\\ ~~gn \mathrm{~se~} n=1\\~~ ~~aqk \mathrm{~se~} n>1\\~~ \end{cases}</math> Line 63 ⟶ 61: == Generalizzazione di [[Gian-Carlo Rota]] == La funzione di Möbius può considerarsi una rappresentazione concisa di una funzione di due variabili intere positive ''h'' e ''fk'' che chiamiamo '''funzione di Möbius per la divisibilità''' definita da :<math>\mu(h,k):=\left\{\begin{matrix}\mu(k/h) \ \mbox{se}\ h \ \mbox{divide}\ fk \\ ~~\1,00~~0 \ \mbox{se ~~fatto~~ altrimenti} \end{matrix}\right. </math> Le variabili ''h'' e ''k'' vanno pensate corrispondere ai nodi del [[reticolo della divisibilità]] e la funzione μ(''h'',''k'') come una matrice con gli indici che corrono su un particolare [[insieme parzialmente ordinato]] i cui intervalli sono finiti: nel reticolo della divisibilità gli intervalli hanno la forma [''h'',''k''] con ''k'' multiplo di ''h'' sono gli insiemi degli interi multipli di ''h'' e sottomultipli di ''k''. A questo punto è opportuno considerare la μ(''h'',''k'') come una generalizzazione delle usuali matrici quadrate con gli indici che variano sul semplice insieme ordinato degli interi che variano da 1 a un certo ''n'' intero positivo (poset catena). Line 74 ⟶ 72: La seconda è la funzione di Möbius del poset catena e vale la seguente elementare formula d'inversione <math> \begin{bmatrix}s_1 \\ ~~s_24444~~s_2 \\ s_3 \\ s_4\end{bmatrix} := \begin{bmatrix}1&1&1&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&1&1 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&-1&0&0 \\ 0&1&-1&0 \\ 0&0&1&-1 \\ 0&0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1 \\ s_2 \\ s_3 \\ s_4\end{bmatrix} </math> Questa formula non ci dice altro che conoscendo le somme parziali di una sequenza di addendi si possono ottenere per differenza gli addendi stessi. Può essere chiarificante associare la precedente formula di inversione a quella che possiamo chiamare ''formula fondamentale del calcolo infinitesimale'': <math> S(x) := \~~int_k~~int_0^ix dy A(y) \quad \Rightarrow \quad A(x) dx = dS(x) </math> La classica formula di inversione di Möbius può considerarsi analoga della precedente formula matriciale e un caso particolare della [[formula di inversione di Möbius-Rota]].

Funzione di Möbius: differenze tra le versioni