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Lemma di Jordan: differenze tra le versioni

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[[File:-sint.JPG|thumb|right|300px| Funzione <math>=-sin(t)</math> e <math> y=-\frac{2}{\pi} \, t</math>]]
Sappiamo che
:<math> \stackrel{MAX}max_{z \in \gamma_R} \, \left|f(z)\right|=M(R)M_R \rightarrow \lim_{R\rightarrow+\infty} M(R)M_R=0 </math>
Allora
:<math> 0 \leq \left| \int_{\gamma_R} f(z)\,e^{i\omega z}dz\right| \leq \int_{\theta_1}^{\theta_2} \left|f(Ri\,e^{it})
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:<math>\leq \int_{\theta_1}^{\theta_2}\left|f(Ri\,e^{it})\right|\cdot\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|R\,dt \leq
\int_{\theta_1}^{\theta_2} M(R)M_R\,R\,\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt \leq</math>
 
So che <math> \left|i\right|=1 </math> e <math>\left|e^{it}\right|=1</math>
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Il modulo di un esponenziale complesso è uguale ad 1, quindi la parentesi è uguale ad 1
 
:<math>\leq M(R)M_R\,R\, \int_{\theta_1}^{\theta_2} e^{-\omega R\sin t} dt = </math>
 
Come mostrato in figura la funzione <math> -\sin t</math> è maggiorata da<math> y=-\frac{2}{\pi}t, t \in [0,\frac{\pi}{2}]</math>. Considero metà intervallo e quindi per calcolare esattamente l'integrale devo moltiplicarlo per 2.
 
Quindi
 
:<math> =2M(R)2M_R\,R\,\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-\omega R\frac{2}{\pi}t} dt= -2M(R)2M_R\,R\,\left[ e^{-\omega R\frac{2}{\pi}t}
\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cdot \frac{\pi}{2\omega R}= -\frac{\pi}{\omega}\,M(R)M_R \left(e^{-R}-1\right)</math>
 
Facendo adesso il limite per <math> R \rightarrow +\infty </math>
 
:<math> \lim_{R \rightarrow +\infty} -\frac{\pi}{\omega}\,M(R)M_R \left(e^{-R}-1\right)=0</math>
 
Essendo <math>\omega</math> un numero reale positivo, il suo valore non influisce sul risultato del limite.
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Jordan"