Potenziale vettore: differenze tra le versioni

==Il potenziale vettore del campo magnetico==
{{vedi anche|Potenziale magnetico}}
Il potenziale vettore del campo magnetico, indicato solitamente con '''A''', è un campo vettoriale tale che il vettore [[induzionecampo magneticamagnetico]] '''B''' sia uguale al [[rotore (fisica)|rotore]] di '''A''':<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 273|mencuccini}}</ref>
:<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>
Anche in questo caso la definizione non è univoca: '''B''' resta invariato se ad A sommiamo il gradiente di una qualsiasi funzione scalare:
:<math>\nabla \times \left( \mathbf{A} + \nabla C(\mathbf{r}) \right) = \nabla \times \mathbf{A}</math>
Anche il potenziale vettore definito in questo modo risulta soddisfare automaticamente le [[equazioni di Maxwell]] nel caso statico.
 
:<math>\mathbf{B} B_0(x,y,z) = \mathbf \nabla \times \mathbf{A} A_0(x,y,z)</math>
Nel caso elettrodinamico bisogna modificare un po' le definizioni dei potenziali in modo da ottenere che due [[equazioni di Maxwell]] risultino immediatamente soddisfatte. Per quanto riguarda '''A''', abbiamo ancora che è definito in modo che il suo [[rotore (fisica)|rotore]] sia '''B''':
 
:<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>
Il potenziale vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitraria <math>\phi</math>, infatti il rotore di un gradiente è identicamente nullo:
mentre ''V'' è definito in modo che:
 
:<math>\nabla V = -\mathbf{E} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}</math>
:<math>\mathbf \nabla \times \left( \mathbf{A} A_0 + \nablamathbf C(\mathbf{r})nabla \rightphi) = \mathbf \nabla \times \mathbf{A} A_0</math>
 
Applicando il rotore all'equazione del potenziale vettore si ottiene, sapendo che la divergenza di un campo solenoidale è nulla:
 
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf B_0 = \mathbf \nabla \times \mathbf \nabla \times \mathbf A_0 = (\mathbf \nabla \cdot \mathbf A_0) \cdot \mathbf \nabla - \mathbf \nabla^2 \mathbf A_0 = - \mathbf \nabla^2 \cdot \mathbf A_0</math>
 
e ricordando la [[Legge di Ampere]] si ha che:
 
:<math>\mathbf \nabla \times \mathbf B_0 = - \mathbf \nabla^2 \cdot \mathbf A_0 = \mu_0 \cdot \mathbf J</math>.
 
Questo implica che le componenti di <math>\mathbf A_0</math> verificano l'[[equazione di Poisson]]:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 274|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\begin{cases} \nabla^2 A_{0x} = - \mu_0 J_x \\ \nabla^2 A_{0y} = - \mu_0 J_y \\ \nabla^2 A_{0z} = - \mu_0 J_z \end{cases}</math>
 
La soluzione dell'equazione esiste ed è unica:<ref>{{Cita|Mencuccini, Silvestrini|Pag. 260|mencuccini}}</ref>
 
:<math>\mathbf A_0 (\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} \int_{V'} \frac {\mathbf J(\mathbf r')}{|\Delta \mathbf r|} dV'</math>
 
In particolare, per circuiti filiformi:
 
:<math>\mathbf A_0 (\mathbf r) = \frac {\mu_0}{4\pi} I \int_{l'} \frac {d\mathbf l'}{|\Delta \mathbf r|}</math>.
 
== Voci correlate ==
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