Sistema dinamico lineare stazionario discreto: differenze tra le versioni
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:<math>A^{n}=(P \Lambda P^{-1})(P \Lambda P^{-1})...(P \Lambda P^{-1})=P\Lambda^{n}P^{-1}</math>
pertanto '''la soluzione dell' equazione matriciale alle differenzè'' è
:<math>x(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0)+\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l)</math>.
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:<math>x_{l}(n)=P\Lambda^{n}P^{-1} x(0)</math>
mentre '''la risposta forzata nello stato''' ottenuta ponendo <math>x(0)=0</math> è
:<math>x_{f}(n)=\sum _{l=0}^{n-1}P\Lambda^{n-l-1}P^{-1} Bu(l)</math>
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:<math>\begin{array}{c} Av_1=\lambda_1v_1\\Av_2=\lambda_2v_2\\...\\Av_k=\lambda_kv_k \end{array}</math>
Supponiamo inoltre che la matrice A ammetta p coppie di autovalori complessi coniugati la cui ''p''-esima coppia è
cui corrisponde la coppia di autovettori complessi coniugati <math>u_{a_p}+ju_{b_p}</math> e <math>u_{a_p}-ju_{b_p}</math> allora per quanto visto nel caso precedente
per la p-esima coppia, se <math>\tau_p</math> è il modulo dell'autovalore p-esimo e <math>\beta</math> il suo argomento si ha:
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Ora posto <math>T^{-1}</math> uguale alla matrice le cui colonne sono i k autovettori corrispondenti agli autovalori reali e le parti reali e immaginarie
delle p coppie di autovettori complessi coniugati cioè
<math>T^{-1}=(v_1,v_2,...,v_k,u_{a_1},u_{b_1},u_{a_2},u_{b_2},...,u_{a_p},u_{b_p})</math> allora dalle precedenti equazioni si ha la [[matrice diagonale a blocchi]]:
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