Somma di Dedekind

In matematica le, somme di Dedekind, cos\`\i\ chiamate in onore di Richard Dedekind, sono funzioni di tre argomenti interi esprimibili mediante specifiche ssomme di prodotti di valori della funzione a denti di sega. Dedekind le ha introdotte per formulare l'equazione funzionale della funzione eta di Dedekind. In seguito queste funzioni speciali sono state ampiamente studiate nella teoria dei numeri e sono risultate utili in alcuni problemi di topologia. Le somme di Dedekind soddisfano un gran numero di relazioni e in questo articolo compaiono solo poche di esse.

Definizione

Consideriamo una particolare funzione a denti di sega $\left(\left(\right)\right):\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ as

$((x))={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ;\\0,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} .\end{cases}}$

Osserviamo che si tratta di una funzione avente come dominio l'insieme dei reali $\mathbb {R}$ e come codominio $(-1/2,1/2)$, periodica con periodo 1, discontinua solo in corrispondenza dei valori interi del suo argomento e dispari, cio\`e tale $\left(\left(-x\right)\right)=-\left(\left(x\right)\right)$.

Possiamo allora definire la funzione

$D:\mathbb {Z} ^{2}\times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})\to \mathbb {R}$

ponendo

$D(a,b;c)=\sum _{n{\bmod {c}}}\left({\Bigg (}{\frac {an}{c}}{\Bigg )}\right)\left(\left({\frac {bn}{c}}\right)\right),$

l'espressione a secondo membro essendo choamate somme di Dedekind.

Una importante riduzione della funzione si ha ponendo a=1; essa in genere viene denotata con

s(b,c) = D(1,b;c).

Propriet\`a semplici

Dalla definizione segue subito che D \`e simmetrica per lo scambio dei primi due argomenti:

$D(a,b;c)=D(b,a;c),$

e che per la disparit\`a della (()),

D(−a,b;c) = −D(a,b;c),

D(a,b;−c) = D(a,b;c).

Chiaramente la D \`e periodica in ciascuno dei suoi primi due argomenti, il terzo argomento essendo la lunghezza del periodo sia per a che per b:

D(a,b;c)=D(a+kc,b+lc;c), for all integers k,l.

If d is a positive integer, then

D(ad,bd;cd) = dD(a,b;c),

D(ad,bd;c) = D(a,b;c), if (d,c) = 1,

D(ad,b;cd) = D(a,b;c), if (d,b) = 1.

L'ultima uguaglianza si pu\`o dimostrare servendosi della propriet\`a

$\sum _{n{\bmod {c}}}\left(\left({\frac {n+x}{c}}\right)\right)=\left(\left(x\right)\right),\qquad \forall x\in \mathbb {R} .$

Inoltre la az = 1 (mod c) implica D(a,b;c) = D(1,bz;c).

Caso particolare

Se b e c sono numeri coprimi, per la s(b,c) si ha l'espressione

$s(b,c)={\frac {-1}{c}}\sum _{\omega }{\frac {1}{(1-\omega ^{b})(1-\omega )}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4c}},$

dove la somma riguarda le c-esime radici dell'unit\`a diverse da 1, i.e. l'insieme dei valori $\omega$ tali che $\omega ^{c}=1$ ma $\omega \not =1$.

If b, c > 0 sono coprimi, allora

$s(b,c)={\frac {1}{4c}}\sum _{n=1}^{c-1}\cot \left({\frac {\pi n}{c}}\right)\cot \left({\frac {\pi nb}{c}}\right).$

Legge di reciprocit\`a

Se b e c sono interi positivi coprimi, allora

$s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{12}}\left({\frac {b}{c}}+{\frac {1}{bc}}+{\frac {c}{b}}\right)-{\frac {1}{4}}.$

Riscritta questa equazione nella forma

$12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\right)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,$

segue che il numbero 6c s(b,c) \`e un intero.

Se k = (3, c), allora

$12bc\,s(c,b)=0\mod kc$

e

$12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.$

Segnaliamo una relazione di grande rilievo nella teoria delle funzione eta di Dedekind. Sia q = 3, 5, 7 or 13 e sia n = 24/(q − 1). In tal caso dati interi a, b, c, d con ad − bc = 1 (e quindi appartenente al gruppo modulare), con c scelto in modo che sia c = kq per qualche intero k > 0, definiamo

$\delta =s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}$ .

Ne segue che nδ \`e un intero pari.

Generalizzazione di Rademacher della legge di reciprocit\`a

Hans Rademacher ha trovato la seguente generalizzazione delle legge di reciprocit\`a per le somme di Dedekind sums. Se a,b e c sono interi positivi mutuamente coprimi, allora

$D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{abc}}-{\frac {1}{4}}.$

Riferimenti

• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 3.)
• Matthias Beck and Sinai Robins, Dedekind sums: a discrete geometric viewpoint, (2005 or earlier)
• Hans Rademacher and Emil Grosswald, Dedekind Sums, Carus Math. Monographs, 1972. ISBN 0883850168.