Forma sesquilineare: differenze tra le versioni

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== Definizione ==
Sia ''V'' uno [[spazio vettoriale complesso]]. Una funzione
 
:<math> \phi: V\times V \to \mathbb{C} </math>
è '''sesquilineare''' se
 
è '''detta forma sesquilineare''' se:
 
*<math>\phi(x + y, z + w) = \phi(x, z) + \phi(x, w) + \phi(y, z) + \phi(y, w)\,</math>
*<math>\phi(a x, y) = \bar{a}\,\phi(x,y)</math>
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In altre parole, per ogni ''z'' in ''V'' fissato, le applicazioni
 
:<math> w \mapsto \phi(z,w), \ w \mapsto \phi(w,z) </math>
 
sono rispettivamente [[trasformazione lineare|lineare]] e [[trasformazione antilineare|antilineare]].
 
== TraspostaForma coniugatahermitiana ==
{{vedi anche|Operatore autoaggiunto}}
Data una qualsiasi forma sesquilineare <math> \phi </math> su ''V'', le si associa una seconda forma sesquilineare <math>\phi^\dagger </math> che si dice ottenuta per ''trasposizione coniugata'':
:<math>\phi^\dagger(w,z) = \overline{\phi(z,w)}</math> .
Chiaramente abbiamo
:<math>(\phi^\dagger)^\dagger = \phi </math>
Se <math> \phi = \phi^\dagger </math> allora la <math> \phi </math> è detta '''forma hermitiana'''. Se invece <math> \phi = - \phi^\dagger </math> è detta '''forma antihermitiana'''.
 
:<math>\phi^\dagger(w,z) = \overline{\phi(z,w)}</math> .
Tali forme sono l'equivalente complesso delle [[forma bilineare|forme bilineari]] [[forma bilineare simmetrica|simmetrica]] e [[forma bilineare antisimmetrica|antisimmetrica]]. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:
 
:<math>\phi = {1\over 2}(\phi+\phi^\dagger) + {1\over 2}(\phi-\phi^\dagger)</math>
e si ha:
 
:<math>(\phi^\dagger)^\dagger = \phi </math>
 
== Forma hermitiana ==
=== Definizione ===
Una forma hermitiana è quindi una forma sesquilineare φ<math>\phi</math>: ''V'' &times; ''V'' → '''C''' tale che :
:<math>\phi(w,z) = \overline{\phi(z,w)}</math>
 
Se invece <math> \phi = - \phi^\dagger </math>, allora la <math> \phi </math> è detta '''forma hermitiana'''antihermitiana. Se invece <mathbr> \phi = - \phi^\dagger </math> è detta '''forma antihermitiana'''.
La forma hermitiana standard sullo spazio '''C'''<sup>''n''</sup> è definita nel modo seguente:
:<math>\phi(w,z) = \sum_{i=1}^n\overline{w}_i z_i</math>
 
Tali forme sono l'equivalente complesso delle [[forma bilineare|forme bilineari]] [[forma bilineare simmetrica|simmetrica]] e [[forma bilineare antisimmetrica|antisimmetrica]]. Analogamente a quanto accade nel caso reale, ogni forma sesquilineare può essere scritta come somma di una hermitiana e di una antihermitiana:
:<math>\phi = {1\over 2}(\phi+\phi^\dagger) + {1\over 2}(\phi-\phi^\dagger)</math>
 
=== Matrice associata ===