Differenze tra le versioni di "Numero surreale"

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;'''Regola di costruzione''': Se ''L'' e ''R'' sono due insiemi di numeri surreali e nessun membro di ''R'' è minore o uguale di qualche membro di ''L'' allora { ''L'' | ''R'' } è un numero surreale.
 
Dato un numero surreale ''x'' = { ''X<sub>L</sub>'' | ''X<sub>R</sub>'' } gli insiemi ''X<sub>L</sub>'' e ''X<sub>R</sub>'' sono chiamati ''insieme sinistro'' di ''x'' e ''insieme destro'' di ''x'' rispettivamente. Per evitare di usare tante parentesi graffe si usa scrivere il numero { {''a'', ''b'', ... } | { ''x'', ''y'', ... } } semplicemente come { ''a'', ''b'', ... | ''x'', ''y'', ... }, il numero { {''a''} | {} } come { ''a'' | } e { {} | {''a''} } come { | ''a'' }<ref>Caratteri minuscoli nella notazione { ''a'' | ''b'' } si riferiscono a numeri o giochi singoli, mentre caratteri maiuscoli nella notazione { ''L'' | ''R'' } si riferiscono a insiemi di numeri o giochi.</ref>.
 
Perché i numeri così generati possano effettivamente essere qualificati come numeri deve esserci una [[relazione d'ordine]] tra di essi (qui indicata con &le;). Questa relazione è fornita dalla seguente regola:
 
;'''Regola del confronto''': Per i numeri surreali ''x'' = { ''X<sub>L</sub>'' | ''X<sub>R</sub>'' } e ''y'' = { ''Y<sub>L</sub>'' | ''Y<sub>R</sub>'' } si ha che ''x'' &le; ''y'' [[se e solo se]] ''y'' non è minore o uguale di alcun numero di ''X<sub>L</sub>'', e nessun membro di ''Y<sub>R</sub>'' è minore o uguale di ''x''.
 
Le due regole sono [[algoritmo ricorsivo|ricorsive]], dunque è necessaria una sorta di [[induzione matematica]] per poterle usare. Un'ovvia candidata sarebbe l'''induzione finita'', che consente di generare tutti i numeri che possono essere costruiti applicando la regola di costruzione un numero finito di volte, ma le cose diventano interessanti se si permette l'uso dell'[[induzione transfinita]]<ref> L'induzione transfinita richiede che non esistano successioni ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, ... tali che ''x''<sub>''i''+1</sub> sia una opzione di ''x''<sub>''i''</sub> per ogni ''i'' &ge; 0.</ref>, che permette di applicare la regola infinite volte. Se si vuole che i numeri generati rappresentino effettivamente dei numeri, allora l'ordinamento che viene definito su essi deve essere un [[ordine totale]]. Però la relazione &le; definisce soltanto un [[preordine|preordinamento]] totale, e cioè non è [[relazione antisimmetrica|antisimmetrica]]. Per rimediare a questo fatto si definisce la [[relazione binaria]] == sui numeri surreali che vengono generati in modo tale che
 
: ''x'' == ''y'' [[Se e solo se|sse]] ''x'' &le; ''y'' e ''y'' &le; ''x''.
 
Dato che così si definisce una [[relazione di equivalenza]], l'ordinamento sulle [[classe di equivalenza|classi di equivalenza]] che deriva da &le; è un ordine totale. L'interpretazione di questo fatto consiste nel notare che se ''x'' e ''y'' sono nella stessa classe di equivalenza allora essi rappresentano effettivamente lo stesso numero. Le classi di equivalenza a cui appartengono ''x'' e ''y'' vengono indicate con [''x''] e [''y''] rispettivamente. Così se ''x'' e ''y'' appartengono alla stessa classe di equivalenza, si ha che [''x''] = [''y''].
 
Si considerino ora alcuni esempi per osservare come essi si comportano nei confronti dell'ordinamento. L'esempio più semplice è naturalmente
: { '''0''' | }, { | '''0''' } e { '''0''' | '''0''' }.
 
L'ultimo numero non è un numero surreale valido perché '''0''' &le; '''0'''. Se si considera l'ordinamento relativo a numeri surreali validi si vede che
 
: { | '''0''' } < '''0''' < { '''0''' | }
 
dove ''x'' < ''y'' significa '''non'''(''y'' &le; ''x''). I numeri { | '''0''' } e { '''0''' | } vengono indicati con '''-1''' e '''1''' rispettivamente. Dato che ogni classe di equivalenza contiene solo un elemento che è stato definito fino ad ora, si possono sostituire le affermazioni fatte sull'ordinamento dei numeri surreali con affermazioni analoghe fatte sulle classi di equivalenza senza rischio di ambiguità. Ad esempio, l'affermazione precedente può diventare:
 
: { | 0 } < 0 < { 0 | }
Si possono fare tre osservazioni:
 
# Sono state trovate quattro nuove classi di equivalenza: [{ | '''-1''' }], [{ '''-1''' | '''0''' }], [{ '''0''' | '''1''' }], e [{ '''1''' | }].
# Tutte le classi di equivalenza ora contengono più di un elemento.
# Le classi di equivalenza di un numero dipendono solo dal massimo elemento del suo insieme sinistro e dal minimo elemento del suo insieme destro.
 
La prima osservazione fa sorgere il problema dell'interpretazione di queste nuove classi di equivalenza. Dato che l'interpretazione informale di { | '''-1''' } è "il numero precedente a -1", questo numero sarà chiamato '''-2''' e la sua classe di equivalenza verrà indicata con -2. Analogamente il numero { '''1''' | } sarà chiamato '''2''' e la sua classe di equivalenza 2. Il numero { '''-1''' | '''0''' } è un numero compreso tra '''-1''' e '''0''' e sarà chiamato '''-1/2''', e la sua classe di equivalenza -1/2. Infine il numero { '''0''' | '''1''' } viene chiamato '''1/2''' e la sua classe di equivalenza 1/2. Verranno date ulteriori giustificazioni a questi nomi una volta che saranno definite le operazioni di addizione e moltiplicazione.
 
La seconda osservazione fa sorgere il problema della validità della rappresentazione dei numeri surreali mediante le loro classi di equivalenza. La rappresentazione è valida perché si può dimostrare che
L'addizione e la moltiplicazione di numeri surreali sono definite dalle tre regole seguenti:
 
;'''Addizione''': ''x'' + ''y'' = { ''X<sub>L</sub>'' + ''y''&nbsp;&cup;&nbsp;''x'' + ''Y<sub>L</sub>'' | ''X<sub>R</sub>'' + ''y''&nbsp;&cup;&nbsp;''x'' + ''Y<sub>R</sub>'' }
 
dove ''X'' + ''y'' = { ''x'' + ''y'' | ''x'' appartiene a ''X'' } e ''x'' + ''Y'' = { ''x'' + ''y'' | ''y'' appartiene a ''Y'' }.
dove -''X'' = { -''x'' | ''x'' appartenente ''X'' }
 
;'''Moltiplicazione''': ''xy'' = { (''X<sub>L</sub>y'' + ''xY<sub>L</sub>'' - ''X<sub>L</sub>Y<sub>L</sub>'')&nbsp;&cup;&nbsp;(''X<sub>R</sub>y'' + ''xY<sub>R</sub>'' - ''X<sub>R</sub>Y<sub>R</sub>'') | (''X<sub>L</sub>y'' + ''xY<sub>R</sub>'' - ''X<sub>L</sub>Y<sub>R</sub>'')&nbsp;&cup;&nbsp;(''X<sub>R</sub>y'' + ''xY<sub>L</sub>'' - ''X<sub>R</sub>Y<sub>L</sub>'') }
 
dove ''XY'' = { ''xy'' | ''x'' appartiene a ''X'' e ''y'' appartiene a ''Y'' }, ''Xy'' = ''X''{''y''} e ''xY'' = {''x''}''Y''.
* ''S<sub>0</sub>'' = {0}
* ''S''<sub>''i'' + 1</sub> è uguale a ''S<sub>i</sub>'' più l'insieme di tutti i numeri surreali che sono generati mediante la regola di costruzione a partire dai sottoinsiemi di ''S<sub>i</sub>''.
L'insieme di tutti i numeri surreali che sono generati in qualche ''S<sub>i</sub>'' viene indicato con ''S''<sub>&omega;ω</sub>. I primi insiemi di classi di equivalenza che vengono costruiti sono i seguenti:
 
: ''S<sub>0</sub>'' = { 0 }
Di conseguenza tutti i numeri generati sono [[frazione diadica|frazioni diadiche]], cioè frazioni che possono essere scritte come [[frazione irriducibile|frazioni irriducibili]] nel modo seguente:
:: ''a'' / 2<sup>''b''</sup>
dove ''a'' e ''b'' sono [[numero intero|numeri interi]] e ''b'' &ge; 0. Ciò significa che frazioni come 1/3, 2/3, 4/3, 5/3, 1/6 eccetera non vengono generate. Si noti però che possono essere generati numeri che sono arbitrariamente vicini a queste frazioni, anche se le frazioni stesse non saranno mai generate.
 
== "Verso l'infinito, e oltre" ==
 
Il passo successivo consiste nel prendere ''S''<sub>&omega;ω</sub> e continuare ad applicare la regola di costruzione ad esso per costruire ''S''<sub>&omega;ω+1</sub>, ''S''<sub>&omega;ω+2</sub> eccetera. Si noti che ora gli insiemi sinistri e destri possono diventare infiniti.
 
In effetti si può definire un insieme ''S''<sub>''a''</sub> per ogni [[numero ordinale]] ''a'' mediante [[induzione transfinita]]. Si definisce ''compleanno'' (la parola inglese ''birthday'' rende di più il concetto, visto che letteralmente significa "giorno di nascita") il primo passo in cui un determinato numero surreale appare in questo processo. Ogni surreale ha un numero ordinale come compleanno. Per esempio, il compleanno di 0 è 0, e il compleanno di 1/2 è 2. Un numero { ''L'' | ''R'' } è equivalente al più semplice numero compreso tra ''L'' e ''R'', cioè è il numero compreso tra ''L'' e ''R'' con il più piccolo compleanno. Dunque il numero { {1, 2} | {5, 8} } è equivalente a 3, perché il compleanno di 3 è minore del compleanno di qualunque altro numero compreso tra 2 e 5.
 
Già in ''S''<sub>&omega;ω+1</sub> si possono trovare frazioni che non esistevano in ''S''<sub>&omega;ω</sub>. Per esempio, la frazione 1/3 può essere definita come
: '''1/3''' = { { ''a'' / 2<sup>''b''</sup> in ''S''<sub>&omega;ω</sub> | 3''a'' < 2<sup>''b''</sup> } | { ''a'' / 2<sup>''b''</sup> in ''S''<sub>&omega;ω</sub> | 3''a'' > 2<sup>''b''</sup> } }.
La correttezza di questa definizione segue dal fatto che
: '''3'''('''1 / 3''') == '''1'''.
Il compleanno di 1/3 è &omega;ω+1.
 
In ''S''<sub>&omega;ω+1</sub>; compaiono non solo i restanti [[numero razionale|numeri razionali]] ma anche i rimanenti [[numero reale|numeri reali]]. Per esempio
: '''[[Pi greco|&pi;π]]''' = {3, 25/8, 201/64, ... | ..., 101/32, 51/16, 13/4, 7/2, 4}.
 
Un altro numero che viene costruito in ''S''<sub>&omega;ω+1</sub> è
 
: '''&epsilon;ε''' = { 0 | ..., 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1 }.
È facile vedere che questo numero è maggiore di zero ma minore di tutte le frazioni positive, e perciò è un numero [[infinitesimo]]. Il nome della sua classe di equivalenza è quindi &epsilon;ε. Non è l'unico infinitesimo positivo perché si ha, per esempio, che
: 2&epsilon; = { &epsilon;ε | ..., &epsilon;ε + 1/16, &epsilon;ε + 1/8, &epsilon;ε + 1/4, &epsilon;ε + 1/2, &epsilon;ε + 1 } e
: &epsilon;ε / 2 = { 0 | &epsilon;ε }.
Si noti che questi numeri non sono ancora generati in ''S''<sub>&omega;ω+1</sub>.
 
Accanto a numeri infinitamente piccoli si trovano anche numeri infinitamente grandi, come per esempio
: '''&omega;ω''' = { ''S''<sub>&omega;ω</sub> | }.
Il suo valore è evidentemente maggiore di ogni numero in ''S''<sub>&omega;ω</sub> e la sua classe di equivalenza viene perciò chiamata &omega;ω. Questo numero è equivalente al [[numero ordinale]] che porta lo stesso nome. Vale anche l'uguaglianza
: &omega;ω = [{ 1, 2, 3, 4, ... | }]
 
In effetti, tutti i numeri ordinali possono essere espressi come numeri surreali. Dato che l'addizione e la sottrazione sono definite per tutti i numeri surreali si può usare &omega;ω come qualunque altro numero e si può mostrare, per esempio, che
: &omega;ω + 1 = { &omega;ω | } e
: &omega;ω - 1 = { ''S''<sub>&omega;ω</sub> | &omega;ω }.
Si può fare un calcolo analogo anche per numeri maggiori
: &omega;ω + 2 = { &omega;ω + 1 | },
: &omega;ω + 3 = { &omega;ω + 2 | },
: &omega;ω - 2 = { ''S''<sub>&omega;ω</sub> | &omega;ω - 1 } e
: &omega;ω - 3 = { ''S''<sub>&omega;ω</sub> | &omega;ω - 2 }
e anche per &omega;ω stesso
: &omega;ω + &omega;ω = { &omega;ω + ''S''<sub>&omega;ω</sub> | }
dove ''x'' + ''Y'' = { ''x'' + ''y'' | ''y'' in ''Y'' }. Così come 2&omega; è maggiore di &omega;ω si può anche dimostrare che &omega;ω/2 è minore di &omega;ω perché
: &omega;ω/2 = { ''S''<sub>&omega;ω</sub> | &omega;ω - ''S''<sub>&omega;ω</sub> }
dove ''x'' - ''Y'' = { ''x'' - ''y'' | ''y'' in ''Y'' }. Infine, si può dimostrare che esiste una stretta relazione tra &omega;ω e &epsilon;ε perché si ha che
: 1 / &epsilon;ε = &omega;ω
 
Si noti che l'addizione di numeri ordinali differisce dall'addizione delle loro rappresentazioni surreali. La somma 1 + &omega;ω è uguale a &omega;ω nei numeri ordinali, ma come surreali si ha che 1 + &omega;ω = &omega;ω + 1 > &omega;ω.
 
Dato che ogni numero surreale viene costruito a partire da altri numeri surreali più "vecchi" di esso, si possono dimostrare molti teoremi sui surreali usando l'induzione transfinita: si dimostra che un teorema è valido per 0, e poi che è valido per ''x'' = { ''X<sub>L</sub>'' | ''X<sub>R</sub>'' } se è valido per tutti gli elementi di ''X<sub>L</sub>'' e ''X<sub>R</sub>''.
Molti numeri possono essere generati in questo modo; in effetti così tanti che nessun [[insieme]] può contenerli tutti. I numeri surreali, così come i [[numero ordinale|numeri ordinali]], formano una [[classe (insiemistica)|classe]] propria.
 
== Potenze di &omega;ω ==
 
Per classificare gli "ordini" di numeri surreali infiniti, noti anche come classi [[proprietà archimedea|archimedee]], Conway associò ad ogni numero surreale ''x'' il numero surreale
* &omega;ω<sup>''x''</sup> = { 0, ''r'' &omega;ω<sup>''x''<sub>L</sub></sup> | ''s'' &omega;ω<sup>''x''<sub>R</sub></sup> },
dove ''r'' e ''s'' variano all'interno dei numeri reali positivi. Se 0 &le; ''x'' < ''y''
allora &omega;ω<sup>''y''</sup> è "infinitamente più grande" di &omega;ω<sup>''x''</sup>,
cioè è più grande di ''r'' &omega;ω<sup>''x''</sup> per ogni numero reale ''r''. Le potenze di &omega;ω soddisfano anche alle seguenti condizioni:
* &omega;ω<sup>''x''</sup> &omega;ω<sup>''y''</sup> = &omega;ω<sup>''x+y''</sup>,
* &omega;ω<sup>-''x''</sup> = 1/&omega;ω<sup>''x''</sup>,
e quindi mantengono le proprietà usuali delle potenze di numeri reali.
 
Ogni potenza di &omega;ω possiede anche la proprietà di essere il ''più semplice'' numero surreale nella sua classe archimedea; inversamente, ogni classe archimedea contenuta nei surreali contiene un unico membro più semplice di tutti. Perciò, per ogni numero surreale positivo ''x'' esistono sempre un numero reale positivo ''r'' e un surreale ''y'' tali che ''x'' - ''r''
&omega;ω<sup>''y''</sup> è "infinitamente più piccolo" di ''x''. Questo fatto si può estendere mediante induzione transfinita in modo tale che ogni numero surreale ''x'' possiede una "forma normale" analoga alla [[Numero ordinale (teoria degli insiemi)#Forma normale di Cantor|forma normale di Cantor]] per i numeri ordinali. Ogni numero surreale può essere scritto in modo univoco come
* ''x'' = ''r''<sub>0</sub> &omega;ω<sup>''y''<sub>0</sub></sup> + ''r''<sub>1</sub> &omega;ω<sup>''y''<sub>1</sub></sup> + &hellip;,
dove ogni ''r''<sub>&alpha;α</sub> è un numero reale non nullo e gli ''y''<sub>&alpha;α</sub>s
formano una successione strettamente decrescente di numeri surreali.
Questa "somma", inoltre, può avere infiniti termini, e in generale ha lunghezza uguale a un qualche numero ordinale.
In una costruzione alternativa, chiamata la ''espansione di segni'' o ''successione di segni'' di un numero surreale, un numero surreale è una [[funzione (matematica)|funzione]] il cui [[dominio (matematica)|dominio]] è un [[numero ordinale]] e il [[codominio]] è un [[sottoinsieme]] di { - 1, + 1 }.
 
Si definisce il predicato binario "più semplice di" sui numeri in questo modo: ''x'' è più semplice di ''y'' se ''x'' è un [[sottoinsieme|sottoinsieme proprio]] di ''y'', cioè se dom(''x'') < dom(''y'') e ''x''(&alpha;α) = ''y''(&alpha;α) per tutti gli &alpha;α < dom(''x'').
 
Per i numeri surreali ''x'' e ''y'' si definisce la relazione binaria < identificandola con l'ordinamento lessicografico, con la convenzione che "valori indefiniti" sono maggiori di &minus;1−1 e minori di 1. In questo modo si ha che ''x'' < ''y'' se è vera una delle seguenti proprietà:
* ''x'' è più semplice di ''y'' e ''y''(dom(''x'')) = + 1;
* ''y'' è più semplice di ''x'' e ''x''(dom(''y'')) = - 1;
* esiste un numero ''z'' tale che ''z'' è più semplice di ''x'', ''z'' è più semplice di ''y'', ''x''(dom(''z'')) = - 1 e ''y''(dom(''z'')) = + 1.
 
Equivalentemente, sia &delta;δ(''x'',''y'') = min({ dom(''x''), dom(''y'')} &cup; { &alpha;α :
&alpha;α < dom(''x'') &and; &alpha;α < dom(''y'') &and; ''x''(&alpha;α) &ne; ''y''(&alpha;α) }),
in modo tale che ''x'' = ''y'' sse &delta;δ(''x'',''y'') = dom(''x'') = dom(''y''). Allora, per i numeri ''x'' e ''y'' si ha che ''x'' < ''y'' sse vale una delle seguenti proprietà:
* &delta;δ(''x'',''y'') = dom(''x'') &and; &delta;δ(''x'',''y'') < dom(''y'') &and; ''y''(&delta;δ(''x'',''y'')) = + 1;
* &delta;δ(''x'',''y'') < dom(''x'') &and; &delta;δ(''x'',''y'') = dom(''y'') &and; ''x''(&delta;δ(''x'',''y'')) = - 1;
* &delta;δ(''x'',''y'') < dom(''x'') &and; &delta;δ(''x'',''y'') < dom(''y'') &and; ''x''(&delta;δ(''x'',''y'')) = - 1 &and; ''y''(&delta;δ(''x'',''y'')) = + 1.
 
Per i numeri ''x'' e ''y'' si ha che ''x'' &le; ''y'' sse ''x'' < ''y'' &or; ''x'' = ''y'', ''x'' > ''y'' sse ''y'' < ''x'', e ''x'' &ge; ''y'' sse ''y'' &le; ''x''.
 
La relazione di < è una [[relazione transitiva|proprietà transitiva]], e per tutti i numeri ''x'' e ''y'' è vera soltanto una delle relazioni seguenti: ''x'' < ''y'', ''x'' = ''y'', ''x'' > ''y'' (proprietà di [[tricotomia]]). Ciò significa che < è un [[ordine lineare]] (linear order) (eccetto il fatto che < è una classe propria).
 
Per insiemi di numeri ''L'' e ''R'' tali che &forall;''x'' &isin; ''L'' &forall;''y'' &isin; ''R'' (''x'' < ''y''), esiste un unico numero ''z'' tale che
* &forall;''x'' &isin; ''L'' (''x'' < ''z'') &and; &forall;''y'' &isin; ''R'' (''z'' < ''y''),
* Per ogni numero ''w'' tale che &forall;''x'' &isin; ''L'' (''x'' < ''w'') &and; &forall;''y'' &isin; ''R'' (''w'' < ''y''), ''w'' = ''z'' oppure ''z'' è più semplice di ''w''.
 
Inoltre ''z'' è [[costruibile]] a partire da ''L'' e ''R'' mediante induzione transfinita. ''z'' è il numero più semplice compreso tra ''L'' e ''R''. Lo si indichi con il simbolo &sigma;σ(''L'',''R'').
 
Per un numero ''x'', si definiscano il suo insieme sinistro ''L''(''x'') e il suo insieme destro ''R''(''x'') con
* ''L''(''x'') = { ''x''|<sub>&alpha;α</sub> : &alpha;α < dom(''x'') &and; ''x''(&alpha;α) = + 1 };
* ''R''(''x'') = { ''x''|<sub>&alpha;α</sub> : &alpha;α < dom(''x'') &and; ''x''(&alpha;α) = - 1 },
 
Allora &sigma;σ(''L''(''x''),''R''(''x'')) = ''x''.
 
Un vantaggio di questa costruzione alternativa è che l'uguaglianza è l'identità, non una relazione definita induttivamente. Al contrario di quanto si fa nella costruzione originale di Conway dei numeri surreali, però, questa costruzione richiede una costruzione precedente degli ordinali, mentre nella costruzione di Conway gli ordinali sono un caso particolare di surreali.
 
Peraltro, si possono creare definizioni simili che superino la necessità di una costruzione precedente degli ordinali. Per esempio, si possono definire i surreali come una classe, definita ricorsivamente, di funzioni il cui dominio sia un sottoinsieme dei surreali che soddisfa alla regola transitiva
* &forall;''g'' &isin; dom ''f'' (&forall;''h'' &isin; dom ''g'' (''h'' &isin; dom ''f'' ))
e il cui insieme di arrivo sia l'insieme { -, + } o un suo sottoinsieme. Il concetto di "essere più semplice di" può essere definito facilmente come segue: ''x'' è più semplice di ''y'' se ''x'' &isin; dom ''y''. L'ordinamento totale viene definito considerando ''x'' e ''y'' come insiemi di coppie ordinate (come di solito viene definita una funzione): si ha che o ''x'' = ''y'', o che il numero surreale ''z'' = ''x'' &cap; ''y'' è nel dominio di ''x'' o nel dominio di ''y'' (o in entrambi, ma in questo caso i segni sono diversi). Si ha allora che ''x'' < ''y'' se ''x''(''z'') = - o ''y''(''z'') = + (o entrambi). È facile convertire queste funzioni in successioni di segni: si riarrangiano gli elementi di dom ''f'' in ordine di semplicità (cioè secondo l'inclusione), e poi si scrivono i segni che ''f'' assegna a ognuno di questi elementi in ordine. Gli ordinali sono allora quei numeri surreali il cui insieme di arrivo è un (sottoinsieme di) { + }.
 
=== Addizione e moltiplicazione ===
 
La somma ''x'' + ''y'' di due numeri ''x'' e ''y'' è definita per induzione su dom(''x'') e dom(''y'') da ''x'' + ''y'' = &sigma;σ(''L'',''R''), dove
* ''L'' = { ''u'' + ''y'' : ''u'' &isin; ''L''(''x'') } &cup;{ ''x'' + ''v'' : ''v'' &isin; ''L''(''y'') },
* ''R'' = { ''u'' + ''y'' : ''u'' &isin; ''R''(''x'') } &cup;{ ''x'' + ''v'' : ''v'' &isin; ''R''(''y'') }.
 
L'elemento neutro dell'addizione è dato dal numero 0 = { }, e cioè il numero 0 è l'unica funzione il cui dominio è l'ordinale 0, e l'opposto del numero ''x'' è il numero - ''x'', dato da dom(- ''x'') = dom(''x'') e, per &alpha;α < dom(''x''), (- ''x'')(&alpha;α) = - 1 se ''x''(&alpha;α) = + 1, e (- ''x'')(&alpha;α) = + 1 se ''x''(&alpha;α) = - 1.
 
Ne segue che il numero ''x'' è [[positivo]] sse 0 < dom(''x'') e ''x''(0) = + 1, e ''x'' è [[numero negativo|negativo]] sse 0 < dom(''x'') e ''x''(0) = - 1.
 
Il prodotto ''xy'' di due numeri ''x'' e ''y'' è definito per induzione su dom(''x'') e dom(''y'') da ''xy'' = &sigma;σ(''L'',''R''), dove
* ''L'' = { ''uy'' + ''xv'' - ''uv'' : ''u'' &isin; ''L''(''x''), ''v'' &isin; ''L''(''y'') } &cup; { ''uy'' + ''xv'' - ''uv'' : ''u'' &isin; ''R''(''x''), ''v'' &isin; ''R''(''y'') },
* ''R'' = { ''uy'' + ''xv'' - ''uv'' : ''u'' &isin; ''L''(''x''), ''v'' &isin; ''R''(''y'') } &cup; { ''uy'' + ''xv'' - ''uv'' : ''u'' &isin; ''R''(''x''), ''v'' &isin; ''L''(''y'') }.
 
L'elemento neutro p dato dal numero 1 = { (0,+ 1) }, cioè il numero 1 ha dominio uguale all'ordinale 1, e 1(0) = + 1.
=== Corrispondenza tra le costruzioni ===
 
La relazione tra la costruzione di Conway e quella alternativa è data da ''f''({ ''L'' | ''R'' }) = &sigma;σ(''M'',''S''), dove ''M'' = { ''f''(''x'') : ''x'' &isin; ''L'' } e ''S'' = { ''f''(''x'') : ''x'' &isin; ''R'' }.
 
La relazione inversa tra la costruzione alternativa e quella di Conway è data da ''g''(''x'') = { ''L'' | ''R'' }, dove ''L'' = { ''g''(''y'') : ''y'' &isin; ''L''(''x'') } e ''R'' = { ''g''(''y'') : ''y'' &isin; ''R''(''x'') }.
 
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
* Il libro di [[Donald Knuth]]: ''Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness''. [[1974]], ISBN 02010381290-201-03812-9. Si possono trovare più informazioni sulla [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/sn.html pagina ufficiale del libro]
* Una nuova edizione del classico del [[1976]] che definisce i numeri surreali ed esplora le loro connessioni con i giochi: ''On Numbers And Games, 2nd ed.'', John Conway, [[2001]], ISBN 15688112761-56881-127-6.
* Una nuova edizione della prima parte del libro del [[1981]] che presenta i numeri surreali e l'analisi dei giochi a un pubblico più vasto: ''Winning Ways for Your Mathematical Plays, vol. 1, 2nd ed.'', [[Elwin Berlekamp]], [[John Conway]], [[Richard Guy]], [[2001]], ISBN 15688113061-56881-130-6.
* [[Martin Gardner]] <cite>Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers</cite> capitolo 4 — non particolarmente tecnico; ristampa l'articolo del [[1976]] su <cite>Scientific American</cite>.
* "Infinity Plus One, and Other Surreal Numbers". ''[[Discover (magazine)|Discover]],'' Dicembre [[1995]]. Discusso in rete sul forum "Ask Dr. Math" [http://mathforum.org/library/drmath/view/53891.html].
 
== Voci correlate ==
[[es:Número surreal]]
[[fi:Surreaaliluku]]
[[fr:Nombre surréel et pseudo-réel]]
[[he:מספר סוריאליסטי]]
[[nl:Surreëel getal]]
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